Реши задание на изображении

Коротко: \(g \approx 2{,}7\cdot10^2\ \text{м/с}^2\), то есть примерно \(272\ \text{м/с}^2\).

В общем случае на высоте \(h\) над поверхностью: \[ g(h)=\frac{GM}{(R+h)^2},\qquad h\ge 0. \] На поверхности \(h=0\), поэтому \[ g=\frac{GM}{R^2}. \]

Как получить формулу

У поверхности на тело массы \(m\) действует сила тяжести \(mg\). По закону всемирного тяготения: \[ F=G\frac{Mm}{(R+h)^2}. \] Приравниваем: \[ mg=G\frac{Mm}{(R+h)^2}. \] Масса тела \(m\) сокращается: \[ g=\frac{GM}{(R+h)^2}. \]

Подстановка

Берём \(M=2\cdot10^{30}\) кг, \(R=0{,}7\cdot10^9\) м, \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\): \[ g=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{30}}{(0{,}7\cdot10^9)^2} =\frac{1{,}334\cdot10^{20}}{4{,}9\cdot10^{17}} \approx 2{,}72\cdot10^2\ \text{м/с}^2. \]

Проверка единиц \[ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\cdot\text{кг}}{\text{м}^2} =\frac{\text{Н}}{\text{кг}} =\frac{\text{м}}{\text{с}^2}. \]

Почему в знаменателе \(R+h\): \(h\) — высота над поверхностью, а расстояние до центра планеты равно \(R+h\). Поэтому с высотой \(g\) уменьшается.

Если в тетради неизвестная обозначена \(v\), а не \(g\), то для круговой орбиты на высоте \(h\): \[ v(h)=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}, \] у поверхности \(v\approx 4{,}4\cdot10^5\) м/с \(=436\) км/с.