Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Ключевая идея. Квадратное уравнение можно решить через разложение на множители. Нужно найти два числа, которые:

• в произведении дают \(6\) (свободный член),
• в сумме дают \(5\) (число перед \(x\), взятое с противоположным знаком).

Это числа \(2\) и \(3\), потому что: \[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]

Значит: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Уравнение принимает вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]

Отсюда: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]

Проверка:

• при \(x=2\): \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\);
• при \(x=3\): \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\).

Оба корня подходят.

Принцип: если квадратное уравнение имеет вид
\[ x^2+px+q=0, \] то часто можно найти корни по теореме Виета: \[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q. \] Здесь \(p=-5,\ q=6\), поэтому \(x_1+x_2=5,\ x_1x_2=6\), откуда корни \(2\) и \(3\).