Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(-124\)
- \(21\)
- \(2\)
- \(-12\)
- \(6\)
- \(-4\)
- \(1\)
- \(22{,}4=\dfrac{112}{5}\)
- \(3\)
Главный принцип. Логарифм \(\log_a t\) существует только при \(t>0\). Кроме того, при одинаковых основаниях: \[ \log_a U=\log_a V \quad\Longleftrightarrow\quad U=V \] с обязательной проверкой \(U>0,\ V>0\). Также используют определение: \[ \log_a t=b \quad\Longleftrightarrow\quad t=a^b. \]
Решения
\(\log_2(4-x)=7\) \[ 4-x=2^7=128,\qquad x=4-128=-124. \]
\(\log_5(4+x)=2\) \[ 4+x=5^2=25,\qquad x=21. \]
\(\log_5(5-x)=\log_5 3\) \[ 5-x=3,\qquad x=2. \]
\(\log_2(15+x)=\log_2 3\) \[ 15+x=3,\qquad x=-12. \]
\(\log_4(x+3)=\log_4(4x-15)\) \[ x+3=4x-15, \] \[ 18=3x,\qquad x=6. \]
\(\log_5(5-x)=2\log_5 3\)
Сначала: \[ 2\log_5 3=\log_5 3^2=\log_5 9. \] Значит, \[ 5-x=9,\qquad x=-4. \]
- \(\log_3(7-x)=\log_3(3-x)+1\)
Так как \(1=\log_3 3\), получаем: \[ 7-x=3(3-x). \] \[ 7-x=9-3x, \] \[ 2x=2,\qquad x=1. \]
- \(\log_2(5x-7)-\log_2 5=\log_2 21\)
Используем свойство разности логарифмов: \[ \log_2\frac{5x-7}{5}=\log_2 21. \] Значит, \[ \frac{5x-7}{5}=21, \] \[ 5x-7=105, \] \[ 5x=112,\qquad x=\frac{112}{5}=22{,}4. \]
- \(\log_4(x+2)+\log_4 3=\log_4 15\)
Сумма логарифмов: \[ \log_4\bigl(3(x+2)\bigr)=\log_4 15. \] \[ 3(x+2)=15, \] \[ x+2=5,\qquad x=3. \]
Проверка области определения. Найденные значения дают положительные аргументы логарифмов: например, в №5 оба аргумента равны \(9>0\), в №7 аргументы \(6\) и \(2>0\), в №8 \(5x-7=105>0\). Поэтому все корни подходят.
