Реши задание на изображении
На доске 4 задачи — решаю по порядку.
1) Точки \(A(2;-3),\ B(-4;1),\ C(-3;-2)\)
а) Координаты векторов
Вектор — это «конец минус начало»:
\[ \vec{AB}=(-4-2;\ 1-(-3))=(-6;\ 4) \]
\[ \vec{CB}=(-4-(-3);\ 1-(-2))=(-1;\ 3) \]
б) Середины отрезков — среднее арифметическое координат:
\[ M_{AC}=\left(\frac{2+(-3)}2;\frac{-3+(-2)}2\right)=(-0{,}5;-2{,}5) \]
\[ M_{BC}=\left(\frac{-4+(-3)}2;\frac{1+(-2)}2\right)=(-3{,}5;-0{,}5) \]
в) Расстояния
\[ AB=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13} \]
\[ BC=\sqrt{(-3+4)^2+(-2-1)^2} =\sqrt{1+9}=\sqrt{10} \]
Ответ:
\(\vec{AB}=(-6;4)\), \(\vec{CB}=(-1;3)\);
середины: \((-0{,}5;-2{,}5)\) и \((-3{,}5;-0{,}5)\);
\(AB=2\sqrt{13}\), \(BC=\sqrt{10}\).
2) Дано \(\vec a=3\vec i-4\vec j\), \(\vec b=-2\vec i+\vec j\)
Координаты вектора — это коэффициенты при \(\vec i\) и \(\vec j\):
\[ \vec a=(3;-4),\qquad \vec b=(-2;1) \]
а) Модуль вектора:
\[ |\vec a|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5 \]
\[ |\vec b|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt5 \]
Значит,
\[ |\vec a|+|\vec b|=5+\sqrt5 \]
б)
\[ \vec a+\vec b=(3-2;\ -4+1)=(1;-3) \]
\[ |\vec a+\vec b|=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{10} \]
Ответ:
а) \(5+\sqrt5\);
б) \(\sqrt{10}\).
3) Параллелограмм \(ABCD\): \(A(-4;1),\ B(-2;5),\ C(6;3)\)
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Поэтому середина \(AC\) совпадает с серединой \(BD\).
Середина \(AC\):
\[ O=\left(\frac{-4+6}{2};\frac{1+3}{2}\right)=(1;2) \]
Пусть \(D(x;y)\). Тогда середина \(BD\):
\[ \left(\frac{-2+x}{2};\frac{5+y}{2}\right)=(1;2) \]
Отсюда:
\[ -2+x=2,\quad x=4 \]
\[ 5+y=4,\quad y=-1 \]
Значит,
\[ D(4;-1) \]
Точка пересечения диагоналей:
\[ O(1;2) \]
Периметр:
\[ AB=\sqrt{(-2+4)^2+(5-1)^2} =\sqrt{4+16}=2\sqrt5 \]
\[ BC=\sqrt{(6+2)^2+(3-5)^2} =\sqrt{64+4}=2\sqrt{17} \]
\[ P=2(AB+BC)=2(2\sqrt5+2\sqrt{17}) =4(\sqrt5+\sqrt{17}) \]
Ответ:
\(D(4;-1)\), точка пересечения диагоналей \(O(1;2)\),
\(P=4(\sqrt5+\sqrt{17})\).
4) Доказать, что \(MNKP\) — квадрат
Дано:
\[ M(-2;2),\ N(4;-1),\ K(1;-7),\ P(-5;-4) \]
Найдём векторы сторон:
\[ \vec{MN}=N-M=(6;-3) \]
\[ \vec{NK}=K-N=(-3;-6) \]
\[ \vec{KP}=P-K=(-6;3) \]
\[ \vec{PM}=M-P=(3;6) \]
Видно, что
\[ \vec{KP}=-\vec{MN},\qquad \vec{PM}=-\vec{NK} \]
Значит, противоположные стороны параллельны и равны, то есть \(MNKP\) — параллелограмм.
Теперь длины сторон:
\[ |\vec{MN}|=\sqrt{6^2+(-3)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5 \]
\[ |\vec{NK}|=\sqrt{(-3)^2+(-6)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5 \]
Все стороны равны, значит, это ромб.
Проверим прямой угол:
\[ MN^2+NK^2=45+45=90 \]
а
\[ MK^2=(1+2)^2+(-7-2)^2=9+81=90 \]
По обратной теореме Пифагора \(\angle MNK=90^\circ\).
Ромб с прямым углом — квадрат. Значит, \(MNKP\) — квадрат.
Главное: квадрат — это ромб, у которого есть прямой угол; а ромб — параллелограмм с равными сторонами.
Обсуждение
2 сообщения1
Даны точки \(A(2;-3)\), \(B(-4;1)\), \(C(-3;-2)\).
а) Координаты векторов:
\[ \vec{AB}=(-4-2;\;1-(-3))=(-6;\;4) \]
\[ \vec{CB}=(-4-(-3);\;1-(-2))=(-1;\;3) \]
б) Середины отрезков:
\[ M_{AC}=\left(\frac{2+(-3)}2;\;\frac{-3+(-2)}2\right)=(-0{,}5;\;-2{,}5) \]
\[ M_{BC}=\left(\frac{-4+(-3)}2;\;\frac{1+(-2)}2\right)=(-3{,}5;\;-0{,}5) \]
в) Расстояния:
\[ |AB|=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \]
\[ |BC|=\sqrt{(-3+4)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10} \]
2
Дано:
\[ \vec a=3\vec i-4\vec j=(3;-4),\qquad \vec b=-2\vec i+\vec j=(-2;1) \]
а)
\[ |\vec a|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5 \]
\[ |\vec b|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt5 \]
\[ |\vec a|+|\vec b|=5+\sqrt5 \]
б)
\[ \vec a+\vec b=(3-2;\;-4+1)=(1;-3) \]
\[ |\vec a+\vec b|=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{10} \]
3
В параллелограмме \(ABCD\) диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому
\[ D=A+C-B \]
\[ D=(-4+6-(-2);\;1+3-5)=(4;-1) \]
Точка пересечения диагоналей — середина \(AC\):
\[ O=\left(\frac{-4+6}{2};\;\frac{1+3}{2}\right)=(1;2) \]
Стороны:
\[ AB=\sqrt{(-2+4)^2+(5-1)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt5 \]
\[ BC=\sqrt{(6+2)^2+(3-5)^2}=\sqrt{64+4}=2\sqrt{17} \]
Периметр:
\[ P=2(AB+BC)=2(2\sqrt5+2\sqrt{17}) \]
\[ \boxed{P=4(\sqrt5+\sqrt{17})} \]
4
Даны точки:
\[ M(-2;2),\quad N(4;-1),\quad K(1;-7),\quad P(-5;-4) \]
Найдём векторы сторон:
\[ \vec{MN}=(6;-3) \]
\[ \vec{NK}=(-3;-6) \]
\[ \vec{KP}=(-6;3) \]
\[ \vec{PM}=(3;6) \]
Длины всех сторон:
\[ MN=NK=KP=PM=\sqrt{6^2+(-3)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5 \]
То есть все стороны равны.
Проверим угол при вершине \(N\):
\[ \vec{MN}\cdot\vec{NK}=6\cdot(-3)+(-3)\cdot(-6) \]
\[ =-18+18=0 \]
Значит, \(MN\perp NK\).
У четырёхугольника все стороны равны и есть прямой угол, следовательно,
\[ \boxed{MNKP\text{ — квадрат}} \]
Ответы:
\(\vec{AB}=(-6;4)\), \(\vec{CB}=(-1;3)\); середины \(AC\) и \(BC\): \((-0{,}5;-2{,}5)\), \((-3{,}5;-0{,}5)\); \(|AB|=2\sqrt{13}\), \(|BC|=\sqrt{10}\).
\(|\vec a|+|\vec b|=5+\sqrt5\); \(|\vec a+\vec b|=\sqrt{10}\).
\(D(4;-1)\), точка пересечения диагоналей \(O(1;2)\), \(P=4(\sqrt5+\sqrt{17})\).
\(MNKP\) — квадрат.
