Действия сделай

По фото даны
\[ z_1=8+8\sqrt3\,i,\qquad z_2=8. \]

В тригонометрической форме: \[ \boxed{z_1=16\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)} \] \[ \boxed{z_2=8(\cos 0+i\sin 0)} \]

Как это получается

Для числа \(z=a+bi\): \[ r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \cos\varphi=\frac ar,\quad \sin\varphi=\frac br. \]

Для \(z_1\): \[ r_1=\sqrt{8^2+(8\sqrt3)^2} =\sqrt{64+192}=16, \] \[ \cos\varphi_1=\frac{8}{16}=\frac12,\qquad \sin\varphi_1=\frac{8\sqrt3}{16}=\frac{\sqrt3}{2}. \] Оба значения соответствуют углу \(\frac{\pi}{3}\), значит: \[ z_1=16\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right). \]

Для \(z_2=8\): \[ r_2=8,\qquad \cos\varphi_2=1,\quad \sin\varphi_2=0, \] поэтому \(\varphi_2=0\).

Действия над числами

Умножение: модули перемножаются, аргументы складываются. \[ z_1z_2=16\cdot 8\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) =128\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right) =\boxed{64+64\sqrt3\,i}. \]

Деление: модули делятся, аргументы вычитаются. \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{16}{8}\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) =2\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right) =\boxed{1+\sqrt3\,i}. \]

Если нужны сумма и разность: \[ z_1+z_2=(8+8)+8\sqrt3\,i=\boxed{16+8\sqrt3\,i}, \] \[ z_1-z_2=(8-8)+8\sqrt3\,i=\boxed{8\sqrt3\,i}. \]

Обратное деление: \[ \frac{z_2}{z_1} =\frac{8}{16}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) =\boxed{\frac14-\frac{\sqrt3}{4}i}. \]

Проверка деления: \[ (1+\sqrt3\,i)\cdot 8=8+8\sqrt3\,i=z_1. \]