Признаки делимости
Кратко: признак делимости — это правило, которое позволяет по цифрам числа узнать, делится ли оно на данное число, не выполняя деление столбиком.
Основные признаки:
| На что делим | Признак | Пример |
|---|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная: \(0,2,4,6,8\) | \(3714\) — да, \(3715\) — нет |
| 5 | последняя цифра \(0\) или \(5\) | \(2480\) — да, \(2481\) — нет |
| 10 | последняя цифра \(0\) | \(7340\) — да |
| 4 | две последние цифры образуют число, кратное \(4\) (или \(00\)) | \(5316\): \(16\) делится на \(4\) — да |
| 25 | две последние цифры: \(00,25,50,75\) | \(1375\): \(75\) делится на \(25\) — да |
| 3 | сумма цифр делится на \(3\) | \(4725\): \(4+7+2+5=18\) — да |
| 9 | сумма цифр делится на \(9\) | \(4725\): \(18\) делится на \(9\) — да |
| 11 | поочерёдная сумма цифр со знаками \(+,-,+,-,\ldots\) делится на \(11\) | \(4725\): \(4-7+2-5=-6\) — нет |
Для составных чисел:
\(6=2\cdot3\), \(12=3\cdot4\), \(15=3\cdot5\). Проверяй делимость на взаимно простые множители, а не на «пересекающиеся» вроде \(2\) и \(6\) для \(12\).
Почему это работает
Последняя цифра — для 2, 5, 10.
Все разряды, кроме единиц, кратны \(10\): \(10,100,1000,\ldots\). А \(10\) делится на \(2\), \(5\) и \(10\). Поэтому остаток определяется только последней цифрой.Две последние цифры — для 4 и 25.
\(100\) делится и на \(4\), и на \(25\). Значит, сотни, тысячи и дальше уже не влияют на делимость.Сумма цифр — для 3 и 9.
\[ 10=9+1,\quad 100=99+1,\quad 1000=999+1,\ldots \] Числа \(9,99,999,\ldots\) делятся на \(3\) и на \(9\). Поэтому число и его сумма цифр дают одинаковый остаток при делении на \(3\) и на \(9\).Для 11 знаки чередуются:
\(10=11-1,\ 100=99+1,\ 1000=1001-1,\ldots\), поэтому цифры входят в сумму с чередующимися знаками.
Как действовать на похожем задании
- Посмотри, на какое число надо проверить делимость.
- Выбери нужный признак:
- последняя цифра;
- две последние цифры;
- сумма цифр;
- чередующаяся сумма.
- Если число составное, разложи его на взаимно простые множители.
- Сделай вывод.
Проверка на примере \(4725\)
- На \(3\): \(4+7+2+5=18\), \(18\) делится на \(3\).
Проверка: \(4725:3=1575\) — верно. - На \(9\): \(18\) делится на \(9\).
Проверка: \(4725:9=525\) — верно. - На \(5\): последняя цифра \(5\).
\(4725:5=945\) — верно. - На \(25\): последние две цифры \(25\).
\(4725:25=189\) — верно. - На \(11\): \(4-7+2-5=-6\), а \(-6\) не делится на \(11\).
Значит, \(4725\) на \(11\) не делится.
Обсуждение
2 сообщенияПризнаки деления на 13
Кратко: удобный признак делимости на \(13\) такой:
Отбрось последнюю цифру числа, умножь её на \(4\) и прибавь к оставшемуся числу. Повторяй, пока не станет легко проверить. Если результат делится на \(13\), то и исходное число делится на \(13\).
Если \(N=10a+b\), где \(b\) — последняя цифра, то
\[ N \text{ делится на } 13 \iff a+4b \text{ делится на } 13. \]
Пример: \(2392\)
- \(2392\): отбрасываем \(2\), получаем \(239\).
- Прибавляем \(4\cdot2=8\):
\[ 239+8=247. \] - Повторяем: отбрасываем \(7\), получаем \(24\): \[ 24+4\cdot7=24+28=52. \]
- \(52\) делится на \(13\): \[ 52:13=4. \]
Значит, \(2392\) делится на \(13\):
\[ 2392:13=184. \]
Почему это работает
Умножим число \(N=10a+b\) на \(4\):
\[ 4N=40a+4b. \]
Так как \(40=3\cdot13+1\),
\[ 40a+4b \equiv a+4b \pmod{13}. \]
Поэтому \(N\) и \(a+4b\) одновременно делятся или не делятся на \(13\).
Другой удобный признак — для длинных чисел
Разбей число на трёхзначные блоки справа налево и составь чередующуюся сумму:
\[ B_0-B_1+B_2-B_3+\ldots \]
где \(B_0\) — последний блок из трёх цифр.
Если эта сумма делится на \(13\), то и всё число делится на \(13\).
Это работает потому, что
\[ 1000+1=1001=13\cdot77, \]
то есть
\[ 1000\equiv -1 \pmod{13}. \]
Пример:
\[ 2\,392 \longrightarrow 2\;|\;392. \]
Считаем:
\[ 392-2=390, \]
а \(390\) делится на \(13\). Значит, \(2392\) делится на \(13\).
Проверка на примере \(351\)
\[ 35+4\cdot1=39, \]
\(39:13=3\), значит,
\[ 351:13=27. \]
Оба признака дают один и тот же ответ — можно выбирать тот, который удобнее для конкретного числа.
