Реши задание на изображении

Кратко

1. Скрещивающиеся прямые — это две различные прямые в пространстве, которые не лежат ни в одной одной плоскости. Равносильно: они не пересекаются и не параллельны.

2. Для куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) можно взять такие пары:

   • а) пересекающиеся: \(AB\) и \(AD\); \(BB_1\) и \(B_1C_1\);
   • б) параллельные: \(AB\parallel DC\); \(AA_1\parallel BB_1\);
   • в) скрещивающиеся: \(AB\) и \(CC_1\); \(AD\) и \(BB_1\).

3. Прямые \(CD\) и \(AB\) — скрещивающиеся.

4. 1. \(ND\) и \(AB\) — пересекаются в точке \(B\);
   2. \(KN\) и \(AC\) — скрещиваются;
   3. \(MN\) и \(AB\) — параллельны.

Разбор

1. Определение уже дано выше. Полезный признак: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые скрещиваются.

2. Куб рисуем стандартно: нижнее основание \(ABCD\), верхнее \(A_1B_1C_1D_1\), боковые рёбра \(AA_1,BB_1,CC_1,DD_1\).

Проверим скрещивающиеся пары:

• \(AB\) лежит в плоскости нижнего основания, а \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), причём \(C\notin AB\). Значит, \(AB\) и \(CC_1\) скрещиваются.
• \(AD\) лежит в плоскости нижнего основания, а \(BB_1\) пересекает её в точке \(B\), причём \(B\notin AD\). Значит, \(AD\) и \(BB_1\) скрещиваются.

3. Дано: \(CD\) проходит через \(C\) и не лежит в плоскости \(ABC\). Тогда точка \(D\) не лежит в плоскости \(ABC\), иначе вся прямая \(CD\) лежала бы в этой плоскости.

Предположим, что \(CD\) и \(AB\) лежат в одной плоскости \(\beta\). Эта плоскость содержит прямую \(AB\) и точку \(C\). Но через прямую \(AB\) и точку \(C\notin AB\) проходит единственная плоскость — это плоскость \(ABC\). Значит, \(\beta=(ABC)\). Тогда \(D\in\beta=(ABC)\), что невозможно.

Следовательно, \(CD\) и \(AB\) не лежат в одной плоскости, то есть скрещиваются.

4.

1. \(N\) — середина \(DB\), поэтому точки \(D,N,B\) лежат на одной прямой. Значит, прямая \(ND\) совпадает с прямой \(DB\). Прямые \(DB\) и \(AB\) пересекаются в точке \(B\).
   Ответ: пересекаются.

2. \(K\in BN\), а \(N\in DB\), поэтому прямая \(KN\) совпадает с прямой \(BD\).
   Прямая \(BD\) пересекает плоскость \(ABC\) только в точке \(B\), причём \(B\notin AC\). По признаку скрещивающихся прямых \(BD\) и \(AC\) скрещиваются.
   Ответ: скрещиваются.

3. В треугольнике \(DAB\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(DA\) и \(DB\). Значит, \(MN\) — средняя линия треугольника \(DAB\), поэтому
   \[ MN\parallel AB. \] Ответ: параллельны.