Реши

Кратко:

1. \(6-4\sqrt3\)
2. \(4+\sqrt2\)
3. \(2\sqrt2-1\)
4. \(4\sqrt5+1\)
5. \(\sqrt6+\sqrt5\)
6. \(3+\sqrt6\)

Как рассуждать

Главный приём — «свернуть» выражение под корнем в полный квадрат: \[ x+y\pm2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}\pm\sqrt{y})^2. \] То есть ищем такие \(x\) и \(y\), что их сумма равна свободному числу, а произведение — числу под маленьким корнем.

1. Здесь просто раскрываем скобки: \[ \sqrt{12}(\sqrt3-2)=2\sqrt3(\sqrt3-2)=6-4\sqrt3. \]

2. \[ 18+8\sqrt2=18+2\sqrt{32}. \] Нужны числа с суммой \(18\) и произведением \(32\): это \(16\) и \(2\). \[ 18+8\sqrt2=(4+\sqrt2)^2, \] поэтому ответ \(4+\sqrt2\).

3. \[ 9-4\sqrt2=9-2\sqrt8. \] Числа с суммой \(9\) и произведением \(8\): \(8\) и \(1\). \[ 9-4\sqrt2=(\sqrt8-1)^2=(2\sqrt2-1)^2. \] Так как \(2\sqrt2-1>0\), ответ \(2\sqrt2-1\).

4. \[ 81+8\sqrt5=81+2\sqrt{80}. \] Числа: \(80\) и \(1\). \[ 81+8\sqrt5=(\sqrt{80}+1)^2=(4\sqrt5+1)^2. \] Ответ \(4\sqrt5+1\).

5. \[ 11+2\sqrt{30}. \] Нужны числа с суммой \(11\) и произведением \(30\): это \(6\) и \(5\). \[ 11+2\sqrt{30}=(\sqrt6+\sqrt5)^2. \] Ответ \(\sqrt6+\sqrt5\).

6. \[ 15+6\sqrt6=15+2\sqrt{54}. \] Числа с суммой \(15\) и произведением \(54\): \(9\) и \(6\). \[ 15+6\sqrt6=(3+\sqrt6)^2. \] Ответ \(3+\sqrt6\).

Проверка: \((4+\sqrt2)^2=18+8\sqrt2\), \((2\sqrt2-1)^2=9-4\sqrt2\), \((4\sqrt5+1)^2=81+8\sqrt5\), \((\sqrt6+\sqrt5)^2=11+2\sqrt{30}\), \((3+\sqrt6)^2=15+6\sqrt6\).