Контрольная работа№1

№1. Подробное решение

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \(x\) см.
Тогда большая сторона в 5 раз больше, то есть \(5x\) см.

Периметр прямоугольника: \[ P=2(a+b) \] По условию \(P=36\) см, значит: \[ 2(x+5x)=36 \]

Решаем: \[ 2\cdot 6x=36 \] \[ 12x=36 \] \[ x=3 \]

Тогда большая сторона: \[ 5x=5\cdot 3=15\text{ см} \]

Проверка: \[ P=2(3+15)=2\cdot 18=36\text{ см} \]

Ответ: стороны прямоугольника — \(3\) см и \(15\) см.

№2. Подробное решение

По условию \(ABCD\) — прямоугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(AC=18\) см, \(AD=14\) см.

1. В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому
   \[ BC=AD=14\text{ см}. \]

2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит,
   \[ AC=BD=18\text{ см}, \] \[ BO=OC=\frac{18}{2}=9\text{ см}. \]

3. Периметр треугольника \(BOC\): \[ P_{BOC}=BO+OC+BC \] \[ P_{BOC}=9+9+14=32\text{ см}. \]

Ответ: \(32\) см.

№3. Подробное решение

Пусть дан ромб \(ABCD\), а его диагональ \(AC\) образует со стороной \(AB\) угол
\[ \angle BAC=68^\circ. \]

1. В ромбе каждая диагональ является биссектрисой его углов. Значит, диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам: \[ \angle BAD=2\cdot \angle BAC=2\cdot 68^\circ=136^\circ. \]

2. Соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\), поэтому: \[ \angle ABC=180^\circ-136^\circ=44^\circ. \]

3. В ромбе противоположные углы равны: \[ \angle BCD=\angle BAD=136^\circ, \] \[ \angle CDA=\angle ABC=44^\circ. \]

Ответ: углы ромба равны \(44^\circ,\ 136^\circ,\ 44^\circ,\ 136^\circ\).

№3. Подробное решение (с рисунком)

Схема ромба \(ABCD\) (диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\)):

              B
             /|\
            / | \
           /  |  \
          /   |   \
         /    |    \
        A-----O-----C
         \    |    /
          \   |   /
           \  |  /
            \ | /
             \|/
              D

   ∠BAC = 68°  (угол между стороной AB и диагональю AC)

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle BAC=68^\circ\).
Найти: все углы ромба.

1. Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому \(AC\) делит угол \(A\) пополам: \[ \angle BAD=2\cdot\angle BAC=2\cdot 68^\circ=136^\circ. \]

2. Соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\) (как односторонние при \(AD\parallel BC\) и секущей \(AB\)): \[ \angle ABC=180^\circ-136^\circ=44^\circ. \]

3. Противолежащие углы ромба равны: \[ \angle BCD=\angle BAD=136^\circ, \] \[ \angle CDA=\angle ABC=44^\circ. \]

Проверка: \(136^\circ+44^\circ+136^\circ+44^\circ=360^\circ\) — сумма углов четырёхугольника. ✔

Ответ: углы ромба равны \(44^\circ,\ 136^\circ,\ 44^\circ,\ 136^\circ\).

№4. Подробное решение

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(P\) — середина стороны \(AB\), \(K\) — середина стороны \(CD\).
Доказать: \(\angle ADP=\angle CBK\).

Схематический рисунок:

        A────────P────────B
       / ╲               ╱
      /   ╲             ╱
     /     ╲           ╱
    D───────K─────────C

P — середина AB, K — середина CD.
Проведены отрезки DP и BK.

Доказательство:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны: \[ AD=BC,\qquad AB=CD. \]

2. Так как \(P\) — середина \(AB\), а \(K\) — середина \(CD\), то \[ AP=\frac{AB}{2},\qquad CK=\frac{CD}{2}. \] Но \(AB=CD\), значит, \[ AP=CK. \]

3. Углы \(\angle DAP\) и \(\angle BCK\) равны как противоположные углы параллелограмма: \[ \angle DAP=\angle DAB,\qquad \angle BCK=\angle BCD, \] а в параллелограмме \[ \angle DAB=\angle BCD. \] Следовательно, \[ \angle DAP=\angle BCK. \]

4. Рассмотрим треугольники \(ADP\) и \(CBK\). У них: \[ AD=BC,\qquad AP=CK,\qquad \angle DAP=\angle BCK. \] Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ADP=\triangle CBK. \]

5. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Поэтому \[ \angle ADP=\angle CBK. \]

Что и требовалось доказать.

№5. Подробное решение

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(P\) лежит на стороне \(AB\); \(DP\) — биссектриса угла \(D\); \(AB=14\) см; \(BP=6AP\).
Найти: периметр параллелограмма.

Рисунок:

        A──────P──────────B
       /       ╲         /
      /         ╲       /
     /           ╲     /
    D─────────────C

DP — биссектриса ∠D, P ∈ AB.

Пусть \(AP=x\) см. Тогда по условию \[ BP=6x. \] Но точка \(P\) лежит на отрезке \(AB\), значит \[ AP+BP=AB, \] \[ x+6x=14, \] \[ 7x=14, \] \[ x=2. \] Следовательно, \[ AP=2\text{ см},\qquad BP=12\text{ см}. \]

Так как \(DP\) — биссектриса угла \(D\), то \[ \angle ADP=\angle PDC. \] В параллелограмме \(AB\parallel CD\), а \(DP\) — секущая, поэтому внутренние накрест лежащие углы равны: \[ \angle DPA=\angle PDC. \] Значит, \[ \angle ADP=\angle DPA. \]

В треугольнике \(ADP\) углы при вершинах \(D\) и \(P\) равны, поэтому он равнобедренный: \[ AD=AP=2\text{ см}. \]

Теперь найдём периметр параллелограмма: \[ P=2(AB+AD), \] \[ P=2(14+2)=2\cdot 16=32\text{ см}. \]

Ответ: \(32\) см.