Реши задание на изображении

На фотографии задания №570–580. Везде ниже \(n\in\mathbb Z\).

Ответы

№570

1. \(\arccos\frac{\sqrt3}{2}<\arccos\frac12\);
2. \(\arccos(-\frac34)<\arccos(-1)\);
3. \(\arccos(-\frac{\sqrt2}{2})>\arccos(-\frac12)\).

№571

1. \(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\);
2. \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n\);
3. \(x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n\).

№572

1. \(x=\pm\arccos\frac34+2\pi n\);
2. \(x=\pm\arccos(-0{,}3)+2\pi n\);
3. \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n\).

№573

1. \(x=\frac{\pi n}{2}\);
2. \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\);
3. \(x=\pm3\pi+8\pi n\);
4. \(x=\pm\frac{\pi}{2}+6\pi n\);
5. \(x=\frac{\pi}{6}+\pi n\);
6. \(x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\).

№574

1. \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}\);
2. \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\).

№575

1. да;
2. да;
3. нет;
4. нет;
5. да, значение равно \(0\).

№576

1. \(x=\frac{\pi n}{2}\);
2. \(x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n\);
3. \(x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n\);
4. \(x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi n\);
5. \(x=\pi+2\pi n\);
6. \(x=2\pi n\);
7. \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n\) или \(x=\pm\arccos\frac13+2\pi n\);
8. \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n\) или \(x=\pm\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\).

№577 \[ -\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}. \]

№578 \[ x=\pm\frac{\pi}{16}. \]

№579

1. \(x=\frac74\);
2. \(x=-\frac52\).

№580 По определению \(\arccos a\) — это угол \(\alpha\in[0;\pi]\), косинус которого равен \(a\). Поэтому \[ \cos(\arccos a)=a,\qquad -1\le a\le1. \]

1. \(\cos(\arccos0{,}2)=0{,}2\);
2. \(\cos\left(\arccos\left(-\frac23\right)\right)=-\frac23\).

Как это решать

1. Функция \(\arccos a\).
   Она определена только при \(-1\le a\le1\).
   Если \(a_1>a_2\), то \(\arccos a_1<\arccos a_2\): функция убывает.
   Например, \(\arccos\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{6}\), \(\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}\), поэтому первое число меньше.

2. Простейшее уравнение \(\cos t=a\).
   При \(|a|\le1\): \[ t=\pm\arccos a+2\pi n. \] Например, \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\): \[ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n. \]

3. Если под косинусом стоит выражение.
   Сначала решаем уравнение относительно всего угла, затем выражаем \(x\).
   Пример:
   \[ \cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \] \[ 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n, \] \[ x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}. \]

4. Тождества и разложение на множители.
   Используем формулы \[ \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B, \] \[ \sin^2x+\cos^2x=1. \] Например, в №574: \[ \cos x\cos3x-\sin3x\sin x=\cos4x=0. \] В №576 произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель. Если получается \(\cos x=\frac32\), это невозможно.

5. Отбор корней.
   Находим общее решение и перебираем целые \(n\), либо решаем неравенство.
   В №577 период решений равен \(\pi\), поэтому на промежутке длины \(3\pi\) получается 6 корней.
   В №578 условие \(|x|<\frac{\pi}{4}\) оставляет только \(x=\pm\frac{\pi}{16}\).

6. Обратная функция.
   В №580 используется само определение арккосинуса: сначала берём угол, косинус которого равен \(a\), затем снова вычисляем косинус этого угла и получаем \(a\).

Проверка: например, в №579(1) при \(x=\frac74\) аргумент равен \(\frac12\), а \(\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}\) — верно.