Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- третья сторона — 13 см;
- \(BC=6\) см;
- \(\angle A\approx56^\circ,\ \angle B\approx94^\circ,\ \angle C\approx30^\circ\).
1. Две стороны \(1\) см и \(7\sqrt3\) см, угол между ними \(150^\circ\)
Здесь известны две стороны и угол между ними, поэтому применяем теорему косинусов:
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \]
\[ c^2=1^2+(7\sqrt3)^2-2\cdot1\cdot7\sqrt3\cdot\cos150^\circ \]
\[ \cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2} \]
\[ c^2=1+147-14\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) \]
\[ c^2=148+21=169 \]
\[ c=13 \]
Ответ: \(13\) см.
2. Дано: \(AB=2\sqrt3\), \(\angle A=60^\circ\), \(\angle C=30^\circ\). Найти \(BC\)
Сначала найдём третий угол:
\[ \angle B=180^\circ-60^\circ-30^\circ=90^\circ \]
Значит, треугольник прямоугольный. По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C} \]
\[ BC=\frac{AB\cdot\sin60^\circ}{\sin30^\circ} \]
\[ BC=\frac{2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} \]
\[ BC=\frac{3}{\frac12}=6 \]
Ответ: \(BC=6\) см.
3. \(AC=6\) см, \(AB=3\) см, \(BC=5\) см. Найти углы
Здесь известны три стороны, поэтому снова используем теорему косинусов.
\[ \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} \]
\[ \cos A=\frac{3^2+6^2-5^2}{2\cdot3\cdot6} =\frac{9+36-25}{36} =\frac{20}{36} =\frac59 \]
\[ \angle A\approx56^\circ \]
Далее:
\[ \cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} \]
\[ \cos B=\frac{3^2+5^2-6^2}{2\cdot3\cdot5} =\frac{9+25-36}{30} =-\frac1{15} \]
\[ \angle B\approx94^\circ \]
И третий угол:
\[ \angle C=180^\circ-56^\circ-94^\circ=30^\circ \]
Проверка:
\[ 56^\circ+94^\circ+30^\circ=180^\circ \]
Ответ: \(\angle A\approx56^\circ,\ \angle B\approx94^\circ,\ \angle C\approx30^\circ\).
Главное правило выбора:
- есть две стороны и угол между ними — теорема косинусов;
- есть два угла и сторона — теорема синусов;
- есть три стороны — теорема косинусов для нахождения углов.
