Прям с чертежами
Кратко
- а) \(y=-7{,}75\); б) \(x=3\pm\sqrt{13}\approx -0{,}61\) и \(6{,}61\);
в) нули: \(x=3\pm\sqrt{14}\approx -0{,}74\) и \(6{,}74\);
\(y>0\) при \(x\in(-\infty;3-\sqrt{14})\cup(3+\sqrt{14};+\infty)\);
\(y<0\) при \(x\in(3-\sqrt{14};3+\sqrt{14})\);
г) возрастает при \(x\in[3;+\infty)\). - \(-9\).
- \([-22;3]\).
- Да, пересекаются: \((4;4)\) и \((16;64)\).
Общий принцип
Для параболы \(y=ax^2+bx+c\):
- Если \(a>0\), ветви направлены вверх, вершина — самая низкая точка.
- Координата вершины:
\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \] - Ось симметрии — прямая \(x=x_0\). Точки с \(x_0-t\) и \(x_0+t\) имеют одинаковый \(y\).
- Нули функции — это решения уравнения \(y=0\), то есть точки пересечения с осью \(Ox\).
- По графику: выше оси \(Ox\) будет \(y>0\), ниже — \(y<0\).
- Функция возрастает там, где график идёт слева направо вверх. У параболы с ветвями вверх — после вершины.
- Пересечение двух графиков ищем, приравнивая их формулы.
№ 1. \(y=x^2-6x-5\)
Вершина: \[ x_0=-\frac{-6}{2}=3,\qquad y_0=3^2-6\cdot3-5=-14. \] Вершина \((3;-14)\), ветви вверх.
Чертёж №1. Отметь точки: \[ (-1;2),\ (0;-5),\ (1;-10),\ (2;-13),\ (3;-14), \] \[ (4;-13),\ (5;-10),\ (6;-5),\ (7;2). \] Проведи через них плавную U-образную линию. Ось симметрии — \(x=3\). Пересечения с \(Oy\): \((0;-5)\).
а) \(y\) при \(x=0{,}5\)
Подставляем: \[ y=0{,}5^2-6\cdot0{,}5-5=0{,}25-3-5=-7{,}75. \] Ответ: \(-7{,}75\).
б) \(x\), при которых \(y=-1\)
Решаем: \[ x^2-6x-5=-1, \] \[ x^2-6x-4=0, \] \[ D=36+16=52=4\cdot13, \] \[ x=\frac{6\pm2\sqrt{13}}{2}=3\pm\sqrt{13}. \] То есть примерно \(x\approx-0{,}61\) и \(x\approx6{,}61\).
Ответ: \(x=3-\sqrt{13}\) и \(x=3+\sqrt{13}\).
в) Нули функции и знаки \(y\)
Нули — это \(y=0\): \[ x^2-6x-5=0, \] \[ D=36+20=56=4\cdot14, \] \[ x=3\pm\sqrt{14}. \] Примерно \(x\approx-0{,}74\) и \(x\approx6{,}74\).
Парабола ветвями вверх, поэтому:
- \(y>0\) — слева от меньшего корня и справа от большего;
- \(y<0\) — между корнями.
Ответ: \[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;3-\sqrt{14})\cup(3+\sqrt{14};+\infty), \] \[ y<0 \text{ при } x\in(3-\sqrt{14};3+\sqrt{14}). \]
г) Промежуток возрастания
После вершины \(x=3\) график идёт вверх, значит функция возрастает при \(x\ge3\).
Ответ: \([3;+\infty)\).
В некоторых классах пишут \((3;+\infty)\); суть та же.
Проверка: \(0{,}5^2-6\cdot0{,}5-5=-7{,}75\); \(3^2-6\cdot3-5=-14\). Всё верно.
№ 2. Наименьшее значение \(y=x^2-8x+7\)
Выделим полный квадрат: \[ x^2-8x+7=(x^2-8x+16)-9=(x-4)^2-9. \] Квадрат \((x-4)^2\ge0\), поэтому \[ y\ge-9. \] Равенство достигается при \(x=4\). Значит, наименьшее значение равно \(-9\).
Чертёж: вершина \((4;-9)\), ветви вверх; можно отметить \((0;7)\), \((3;-8)\), \((5;-8)\), \((8;7)\).
Ответ: \(-9\).
№ 3. Область значений \(y=x^2-6x-13\) при \(x\in[-2;7]\)
Снова выделим квадрат: \[ y=(x-3)^2-22. \] Вершина \((3;-22)\), причём \(x=3\) входит в отрезок \([-2;7]\). Значит, минимум равен \(-22\).
Проверим концы: \[ y(-2)=(-2)^2-6\cdot(-2)-13=4+12-13=3, \] \[ y(7)=7^2-6\cdot7-13=49-42-13=-6. \] Максимум на отрезке достигается при \(x=-2\) и равен \(3\).
Так как функция непрерывна, она принимает все значения от \(-22\) до \(3\).
Чертёж: кусок параболы от \(x=-2\) до \(x=7\); вершина \((3;-22)\), концы \((-2;3)\) и \((7;-6)\).
Ответ: \([-22;3]\).
№ 4. Пересечение \(y=\frac14x^2\) и \(y=5x-16\)
В точках пересечения \(y\) равны: \[ \frac14x^2=5x-16. \] Умножим на \(4\): \[ x^2=20x-64, \] \[ x^2-20x+64=0. \] \[ D=400-256=144>0, \] значит, точки пересечения есть — две.
\[ x=\frac{20\pm12}{2}. \] Отсюда \[ x_1=16,\qquad x_2=4. \] Находим \(y\) по прямой \(y=5x-16\): \[ x=4:\quad y=5\cdot4-16=4, \] \[ x=16:\quad y=5\cdot16-16=64. \]
Чертёж: парабола \(y=\frac14x^2\) (широкая, ветви вверх) и прямая \(y=5x-16\); пересечения — \((4;4)\) и \((16;64)\).
Проверка:
\[
\frac14\cdot4^2=4,\quad 5\cdot4-16=4;
\]
\[
\frac14\cdot16^2=64,\quad 5\cdot16-16=64.
\]
Всё сходится.
Ответ: пересекаются в точках \((4;4)\) и \((16;64)\).
