Реши задание на изображении

Условие номера 5.34 на изображении не читается — виден только номер. Пришлите фрагмент крупнее или перепишите неравенство, и я сразу решу его по шагам.

Вот решения всех шести неравенств из номера 5.34. Сначала краткие ответы, затем — подробные шаги для каждого.

Краткие ответы:

1. \(x \in (-\infty;\, 2]\)
2. \(x \in [1{,}5;\, +\infty)\)
3. \(x \in (-\infty;\, -2]\)
4. \(x \in (2;\, 3)\)
5. \(x \in (-1;\, 1)\)
6. \(x \in (-\infty;\, 0) \cup (0;\, 2)\)

Подробные решения:

1) \(\dfrac{1}{5^x} \ge 0{,}04\)

Представим обе части как степени с основанием \(5\): \(5^{-x} \ge \dfrac{1}{25}\) \(5^{-x} \ge 5^{-2}\)

Так как основание \(5 > 1\), знак неравенства сохраняется: \(-x \ge -2 \quad\Rightarrow\quad x \le 2\) Ответ: \((-\infty;\, 2]\).

2) \(0{,}25^x \le \dfrac{1}{8}\)

Приведём к основанию \(2\): \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^x \le \dfrac{1}{8}\) \(4^{-x} \le 2^{-3}\) \(2^{-2x} \le 2^{-3}\)

Так как \(2 > 1\): \(-2x \le -3 \quad\Rightarrow\quad x \ge 1{,}5\) Ответ: \([1{,}5;\, +\infty)\).

3) \(3^{2x+5} \le 3^{x+2} + 2\)

Распишем степени: \(3^5 \cdot 3^{2x} \le 3^2 \cdot 3^x + 2\) \(243 \cdot (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 2 \le 0\)

Замена \(t = 3^x > 0\): \(243t^2 - 9t - 2 \le 0\) \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2\) \(t_{1,2} = \dfrac{9 \pm 45}{486}\) \(t_1 = \dfrac{54}{486} = \dfrac{1}{9}, \quad t_2 = -\dfrac{36}{486} < 0\)

С учётом \(t > 0\): \(0 < 3^x \le \dfrac{1}{9} \quad\Rightarrow\quad 3^x \le 3^{-2} \quad\Rightarrow\quad x \le -2\) Ответ: \((-\infty;\, -2]\).

4) \((0{,}04)^{5x - x^2 - 8} < 625\)

Так как \(0{,}04 = \dfrac{1}{25} = 5^{-2}\), а \(625 = 5^4\): \(5^{-2(5x - x^2 - 8)} < 5^4\)

Основание \(5 > 1\), поэтому: \(-2(5x - x^2 - 8) < 4\) \(-10x + 2x^2 + 16 < 4\) \(2x^2 - 10x + 12 < 0\) \(x^2 - 5x + 6 < 0\) \((x - 2)(x - 3) < 0\)

Корни \(2\) и \(3\), знак «минус» между ними: Ответ: \((2;\, 3)\).

5) \(2^x + 1 < 3 \cdot 2^{\frac{x-1}{2}}\)

Перепишем правую часть: \(2^x + 1 < 3 \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}\) \(2^x + 1 < \dfrac{3}{\sqrt{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}\)

Замена \(t = 2^{\frac{x}{2}} > 0\): \(t^2 + 1 < \dfrac{3}{\sqrt{2}} t\) \(\sqrt{2} t^2 - 3t + \sqrt{2} < 0\)

\(D = 9 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 - 8 = 1\) \(t_{1,2} = \dfrac{3 \pm 1}{2\sqrt{2}}\) \(t_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \quad t_2 = \sqrt{2}\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}} < 2^{\frac{x}{2}} < \sqrt{2}\) \(2^{-\frac{1}{2}} < 2^{\frac{x}{2}} < 2^{\frac{1}{2}}\) \(-\dfrac{1}{2} < \dfrac{x}{2} < \dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad -1 < x < 1\) Ответ: \((-1;\, 1)\).

6) \(\left(\dfrac{3}{7}\right)^{\frac{1}{x}} < \sqrt{\dfrac{3}{7}}\)

Так как \(0 < \dfrac{3}{7} < 1\), показательная функция убывает, значит знак неравенства меняется на противоположный: \(\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} > 0\) \(\dfrac{2 - x}{2x} > 0\) \(\dfrac{x - 2}{x} < 0\)

Нули числителя и знаменателя: \(x = 2\) и \(x = 0\). Метод интервалов даёт: Ответ: \((-\infty;\, 0) \cup (0;\, 2)\).