сделай краткий конспект и отдельно кратко объясни тему и как решать задачи

Тема по записям — пределы последовательностей и функций.

Краткий конспект

• Последовательность — это \(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots\). Она возрастающая, если \(x_1<x_2<\dots\), и убывающая, если \(x_1>x_2>\dots\). Такие последовательности называют монотонными.
• Предел последовательности: \[ \lim_{n\to\infty}x_n=a, \] если для любого \(\varepsilon>0\) найдётся номер \(N\), после которого все члены отличаются от \(a\) меньше чем на \(\varepsilon\): \[ |x_n-a|<\varepsilon \quad \text{при } n>N. \]
• Если предел существует, последовательность сходится. Если нет — расходится.
• Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно: последовательность может быть ограниченной, но не сходиться, например \((-1)^n\).
• Бесконечно малая последовательность — её предел равен \(0\).
• Бесконечно большая — её предел равен \(\infty\). Если \(x_n\to\infty\), то \(\frac1{x_n}\to0\). Если \(x_n\to0\), \(x_n\ne0\), то \(\frac1{x_n}\) неограниченно растёт по модулю.
• Арифметика пределов, если пределы \(a\) и \(b\) существуют: \[ \lim(x_n\pm y_n)=a\pm b, \] \[ \lim(x_ny_n)=ab, \] \[ \lim\frac{x_n}{y_n}=\frac ab,\quad b\ne0, \] \[ \lim(kx_n)=ka. \]
• Часто используется: \[ \lim_{n\to\infty}\frac1n=0,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{k}{n^m}=0. \]
• Предел функции в точке: \[ \lim_{x\to a}f(x)=b \] означает, что значения \(f(x)\) приближаются к \(b\), когда \(x\) приближается к \(a\). Важно поведение около точки, а не обязательно значение функции в самой точке.
• Для многочленов и дробей, у которых знаменатель в точке не равен нулю, предел вычисляется подстановкой: \[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \] Это верно для непрерывных функций.

Объяснение темы

Предел отвечает на вопрос: к какому числу «подбираются» значения, когда \(n\) или \(x\) стремится к заданному значению.

Например, \[ \frac1n\to0, \] потому что с ростом \(n\) дробь становится всё меньше и меньше. При этом сам член \(x_n\) никогда не равен нулю, но подходит к нему сколь угодно близко.

Для функций смысл такой же: смотрим, к какому числу приближается \(f(x)\), когда \(x\) приближается к \(a\). Поэтому предел может существовать даже тогда, когда сама функция в точке \(a\) не определена.

Как решать задачи

1. Определи вид предела: последовательность или функция; \(n\to\infty\), \(x\to a\) или \(x\to\infty\).
2. Подставь значение. Если получилось обычное число — это и есть ответ.
3. Если получилась неопределённость \[ \left[\frac00\right], \] то это не ответ. Нужно разложить на множители и сократить общий множитель, привести дроби к общему знаменателю или умножить на сопряжённое, если есть корни.
4. Если знаменатель стремится к нулю, а числитель — к числу, не равному нулю, то конечного предела, как правило, нет; возможен \(+\infty\), \(-\infty\) или разные односторонние пределы.
5. Если \(x\to\infty\) и есть отношение многочленов, делят числитель и знаменатель на старшую степень \(x\).
6. В конце проверь: после сокращения подставь \(x=a\) ещё раз.

Примеры из записей

1. Простая подстановка: \[ \lim_{x\to2}(3x^2-5x+2)=3\cdot4-5\cdot2+2=4. \]

2. Неопределённость \(\frac00\), сокращаем \(x\): \[ \lim_{x\to0}\frac{3x^2-2x}{2x^2-5x} = \left[\frac00\right] = \lim_{x\to0}\frac{x(3x-2)}{x(2x-5)} = \frac{-2}{-5} = \frac25. \]

3. Ещё одна неопределённость \(\frac00\), раскладываем знаменатель: \[ \lim_{x\to-1}\frac{x+1}{x^2-1} = \left[\frac00\right] = \lim_{x\to-1}\frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac1{-2} = -\frac12. \]

Проверка: после сокращения подстановка даёт те же значения, значит преобразования выполнены верно.