Реши задание на изображении
Краткие ответы
A1.
\[
\vec m+2\vec n=4\vec a
\]
A2.
\[
\vec x=4\vec b-\frac43\vec a
\]
A3.
\[
\vec m=\frac13(\vec a+\vec b)-\frac12(\vec a-\vec b)
=-\frac16\vec a+\frac56\vec b=\frac{5\vec b-\vec a}{6}
\]
Поэтому
\[
|\vec m|=\frac16|5\vec b-\vec a|.
\]
Числового значения здесь получить нельзя: в условии не даны длины \(|\vec a|,|\vec b|\) и угол между ними.
B1.
\[
\overrightarrow{EF}=\frac13\vec a+\frac35\vec b
\]
B2.
\[
\vec m=\frac{5\vec a+\vec b}{17},\qquad
\vec n=\frac{-2\vec a+3\vec b}{17}
\]
C1.
\[
\overrightarrow{AE}=\frac25\vec a+\frac{6}{25}\vec b
\]
Как это получается
A1
Просто раскрываем скобки и приводим подобные: \[ \vec m+2\vec n=(2\vec a+6\vec b)+2(\vec a-3\vec b)= 2\vec a+6\vec b+2\vec a-6\vec b=4\vec a. \]
A2
Дано: \[ \vec b=\frac13\vec a+\frac14\vec x. \] Выражаем \(\vec x\): \[ \frac14\vec x=\vec b-\frac13\vec a, \] \[ \vec x=4\vec b-\frac43\vec a. \]
Проверка: если подставить это в исходное равенство, получится \(\vec b\).
A3
Сначала упрощаем вектор: \[ \frac13(\vec a+\vec b)-\frac12(\vec a-\vec b) = \left(\frac13-\frac12\right)\vec a+ \left(\frac13+\frac12\right)\vec b =-\frac16\vec a+\frac56\vec b. \] Значит, \[ \vec m=\frac{5\vec b-\vec a}{6}. \] Отсюда \[ |\vec m|=\frac16|5\vec b-\vec a|. \] Если нужен развёрнутый вид: \[ |\vec m|= \frac16\sqrt{25|\vec b|^2+|\vec a|^2-10\,\vec a\cdot\vec b}. \]
B1
Помещаем начало координат в \(A\). Тогда \[ B=\vec a,\qquad D=\vec b,\qquad C=\vec a+\vec b. \] Точка \(E\) делит \(AD\) в отношении \(2:3\), значит \[ E=\frac25\vec b. \] Точка \(F\) делит \(DC\) в отношении \(1:2\), поэтому \[ F=D+\frac13\overrightarrow{DC} =\vec b+\frac13\vec a. \] Тогда \[ \overrightarrow{EF}=F-E =\left(\vec b+\frac13\vec a\right)-\frac25\vec b =\frac13\vec a+\frac35\vec b. \]
B2
Решаем систему: \[ \begin{cases} \vec a=3\vec m-\vec n,\\ \vec b=2\vec m+5\vec n. \end{cases} \] Умножим первое уравнение на \(5\): \[ 5\vec a=15\vec m-5\vec n. \] Прибавим второе: \[ 5\vec a+\vec b=17\vec m, \] отсюда \[ \vec m=\frac{5\vec a+\vec b}{17}. \] Теперь из \(\vec a=3\vec m-\vec n\): \[ \vec n=3\vec m-\vec a =3\cdot\frac{5\vec a+\vec b}{17}-\vec a =\frac{-2\vec a+3\vec b}{17}. \]
C1
Снова считаем \(A\) началом координат. Тогда \[ B=\vec a,\qquad C=\vec b. \] Так как \(AD:DC=2:3\), \[ D=\frac25\vec b. \] Точка \(E\) делит \(BD\) в отношении \(BE:ED=3:2\), поэтому \[ E=B+\frac35(D-B). \] Подставляем: \[ E=\vec a+\frac35\left(\frac25\vec b-\vec a\right) =\frac25\vec a+\frac{6}{25}\vec b. \] Значит, \[ \overrightarrow{AE}=\frac25\vec a+\frac{6}{25}\vec b. \]
Для A3 уточни, пожалуйста, чему равны \(|\vec a|\), \(|\vec b|\) и угол между ними: без этих данных числовой ответ найти нельзя.
Обсуждение
3 сообщенияЭто точно правильно?
Да — при тех данных, которые были в условии, вычисления верные. Я пересчитал:
- \(A1:\ \vec m+2\vec n=(2\vec a+6\vec b)+2(\vec a-3\vec b)=4\vec a\)
- \(A2:\ \vec x=4\vec b-\frac43\vec a\). Подстановка даёт \(\frac13\vec a+\frac14\vec x=\vec b\).
- \(A3:\ \vec m=-\frac16\vec a+\frac56\vec b\), поэтому
\[ |\vec m|=\frac16|5\vec b-\vec a|. \] Числа здесь действительно не получить без длин \(|\vec a|,|\vec b|\) и угла между ними. - \(B2:\ \vec m=\frac{5\vec a+\vec b}{17},\quad \vec n=\frac{-2\vec a+3\vec b}{17}\).
Проверка: \(3\vec m-\vec n=\vec a,\quad 2\vec m+5\vec n=\vec b\). - \(B1:\ \overrightarrow{EF}=\frac13\vec a+\frac35\vec b\).
- \(C1:\ \overrightarrow{AE}=\frac25\vec a+\frac{6}{25}\vec b\).
Единственная оговорка: в \(B1\) и \(C1\) ответ зависит от отношений, в которых точки делят стороны. В решении использовано:
- \(B1:\ AE:ED=2:3,\quad DF:FC=1:2\);
- \(C1:\ AD:DC=2:3,\quad BE:ED=3:2\).
Если на изображении отношения другие — напиши их, и я сразу исправлю.
