(Х+3)^4+2(х+3)^2-10=0

Кратко, на действительных числах: \[ (x+3)^4+2(x+3)^2-10=0 \] \[ \boxed{x=-3\pm\sqrt{\sqrt{11}-1}} \]

Как решать

1. Замечаем повторяющееся выражение \((x+3)^2\). Пусть \[ t=(x+3)^2,\qquad t\ge 0. \] Тогда \[ (x+3)^4=t^2. \] Уравнение превращается в квадратное: \[ t^2+2t-10=0. \]

2. Решаем его: \[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-10)=4+40=44=4\cdot11. \] \[ t=\frac{-2\pm\sqrt{44}}{2} =\frac{-2\pm2\sqrt{11}}{2} =-1\pm\sqrt{11}. \]

3. Учитываем \(t\ge0\): \[ t_1=-1+\sqrt{11}>0, \] а \[ t_2=-1-\sqrt{11}<0 \] не подходит, потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

4. Возвращаемся к \(x\): \[ (x+3)^2=\sqrt{11}-1. \] Значит, \[ x+3=\pm\sqrt{\sqrt{11}-1}, \] \[ x=-3\pm\sqrt{\sqrt{11}-1}. \]

Ответ: \[ \boxed{x_1=-3+\sqrt{\sqrt{11}-1},\quad x_2=-3-\sqrt{\sqrt{11}-1}.} \]

Главная идея: если выражение повторяется, его удобно обозначить новой буквой и свести уравнение к более простому.