Y=X^2+3
Краткий ответ
$y=x^2+3$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на 3 единицы вверх. Её вершина — точка $(0;,3)$, ветви направлены вверх, область значений $y \ge 3$, нулей (точек пересечения с осью $Ox$) нет.
Как это получить (принцип)
1. Узнаём базовую функцию. $y=x^2$ — «школьная» парабола с вершиной в начале координат.
2. Понимаем, что делает «+3». Прибавка к самой функции сдвигает график по вертикали: каждая точка $(x;,y)$ переходит в $(x;,y+3)$. Значит, весь график поднимается на 3 вверх, а форма и ширина не меняются.
3. Находим вершину строго. Для $y=ax^2+bx+c$ абсцисса вершины $x_0=-\dfrac{b}{2a}$. Здесь $a=1,\ b=0$, поэтому $$x_0=0,\qquad y_0=0^2+3=3 ;\Rightarrow; (0;,3).$$
4. Строим по точкам (таблица).
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $7$ | $4$ | $3$ | $4$ | $7$ |
Точки симметричны относительно прямой $x=0$ — это ось симметрии параболы.
5. Проверка. Подставим $x=2$: $y=2^2+3=4+3=7$ — совпадает с таблицей. Подставим $x=0$: $y=3$ — это и есть наименьшее значение, ведь $x^2\ge 0$, значит $x^2+3\ge 3$. ✔
Свойства функции
- Область определения: $x\in(-\infty;+\infty)$.
- Область значений: $y\in[3;+\infty)$.
- Убывает при $x\le 0$, возрастает при $x\ge 0$.
- Наименьшее значение $y=3$ при $x=0$; наибольшего нет.
- $y>0$ при любом $x$; корней уравнения $x^2+3=0$ нет.
- Чётная: $y(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=y(x)$ — график симметричен относительно оси $Oy$.
Если в задании нужно было просто найти $y$ при конкретном $x$, работает тот же принцип: подставляем $x$ в формулу и считаем, например $y(3)=9+3=12$.
