132 номер
Краткий ответ:
\[ \begin{aligned} &\text{а) }(-25;\,30);\\ &\text{б) }(-\infty;-6)\cup(6;+\infty);\\ &\text{в) }\left(\frac15;\,\frac13\right);\\ &\text{г) }(-\infty;-6{,}3)\cup(-0{,}1;+\infty). \end{aligned} \]
Как рассуждать
Для произведения двух множителей вида
\[
(x-a)(x-b)
\]
сначала находим корни \(a\) и \(b\). На числовой прямой они делят прямую на три промежутка. Поскольку перед \(x\) в каждом множителе стоит \(+1\), произведение:
- положительно на промежутках вне корней;
- отрицательно между корнями.
Все неравенства строгие, поэтому сами корни не включаем — скобки круглые.
а) \((x+25)(x-30)<0\)
Корни: \[ x=-25,\qquad x=30. \]
Нужно \(<0\), значит берём промежуток между корнями:
\[ \boxed{(-25;\,30)} \]
Проверка: \(x=0\): \[ 25\cdot(-30)=-750<0. \]
б) \((x+6)(x-6)>0\)
Корни: \[ x=-6,\qquad x=6. \]
Нужно \(>0\), значит берём промежутки вне корней:
\[ \boxed{(-\infty;-6)\cup(6;+\infty)} \]
в) \(\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac15\right)<0\)
Корни: \[ x=\frac13,\qquad x=\frac15. \]
Расположим их по порядку: \[ \frac15<\frac13. \]
Нужно \(<0\), значит берём промежуток между ними:
\[ \boxed{\left(\frac15;\,\frac13\right)} \]
г) \((x+0{,}1)(x+6{,}3)>0\)
Корни: \[ x=-0{,}1,\qquad x=-6{,}3. \]
По порядку: \[ -6{,}3<-0{,}1. \]
Нужно \(>0\), значит:
\[ \boxed{(-\infty;-6{,}3)\cup(-0{,}1;+\infty)} \]
Главное правило: корни наносим на числовую прямую, определяем знак на одном промежутке и расставляем знаки; выбираем те промежутки, которые подходят под знак неравенства. Для строгого неравенства концы всегда выколоты.
Обсуждение
2 сообщенияВот так реши
Оформляю по образцу с фото: \(f(x)\), нули, знаки на промежутках.
б) \((x+6)(x-6)>0\) — это как раз незаконченный пункт с фото.
\[ f(x)=(x+6)(x-6) \]
Нули:
\[ x_1=-6,\qquad x_2=6 \]
Схема знаков:
\[ +\quad\circ(-6)\quad-\quad\circ(6)\quad+ \]
Так как нужно \(f(x)>0\), берём промежутки со знаком «+»:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty)} \]
Если нужен весь № 132 в таком же оформлении:
а) \((x+25)(x-30)<0\)
\[ f(x)=(x+25)(x-30),\qquad x_1=-25,\quad x_2=30 \]
\[ +\quad\circ(-25)\quad-\quad\circ(30)\quad+ \]
Нужно \(<0\), поэтому:
\[ \boxed{x\in(-25;30)} \]
б) \((x+6)(x-6)>0\)
\[ \boxed{x\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty)} \]
в) \(\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac15\right)<0\)
\[ f(x)=\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac15\right) \]
Нули:
\[ x_1=\frac15,\qquad x_2=\frac13 \]
\[ +\quad\circ\left(\frac15\right)\quad-\quad\circ\left(\frac13\right)\quad+ \]
Нужно \(<0\), значит:
\[ \boxed{x\in\left(\frac15;\frac13\right)} \]
г) \((x+0{,}1)(x+6{,}3)>0\)
Нули:
\[ x_1=-6{,}3,\qquad x_2=-0{,}1 \]
\[ +\quad\circ(-6{,}3)\quad-\quad\circ(-0{,}1)\quad+ \]
Нужно \(>0\), поэтому:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-6{,}3)\cup(-0{,}1;+\infty)} \]
Скобки везде круглые, потому что неравенства строгие.
