Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (по теореме Виета).

Если корни существуют, квадратный трёхчлен раскладывается так:

$$x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$$

При раскрытии скобок получаем $x_1+x_2=-p$ и $x_1\cdot x_2=q$. У нас $p=-5$, $q=6$, значит:

$$x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6$$

Подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3. Тогда

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $x-2=0$ или $x-3=0$.

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда, даже когда корни «некрасивые»).

$$D=b^2-4ac=25-24=1>0$$ $$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}\Rightarrow x_1=\frac{6}{2}=3,\quad x_2=\frac{4}{2}=2$$

Проверка

• $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
• $x=3$: $9-15+6=0$ ✔

Принцип на будущее: сначала смотри на $D$. Если $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет. Если коэффициенты небольшие и корни целые, Виет экономит время: ищи пару чисел с суммой $-p$ и произведением $q$.