Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(3\)
- \(12\)
- \(22\)
- \(4{,}5\)
- \(4\)
- \(134^\circ\)
- \(4{,}8\)
- \(64^\circ\)
- \(18\)
- \(7\)
- \(20\)
Как это получить:
Пусть меньшая диагональ \(d\), тогда большая \(4d\).
\[ S=\frac12 d\cdot 4d=2d^2=18 \Rightarrow d^2=9 \Rightarrow d=3. \]В прямоугольном треугольнике \(\cos A=\frac{AC}{AB}\): \[ \frac{8}{AB}=\frac23 \Rightarrow AB=12. \]
Для правильного треугольника радиус описанной окружности: \[ R=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{22\sqrt3}{\sqrt3}=22. \]
Диагональ делит среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований: \[ \frac52=2{,}5,\qquad \frac92=4{,}5. \] Больший — \(4{,}5\).
Для правильного треугольника радиус вписанной окружности: \[ r=\frac{a}{2\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{2\sqrt3}=4. \]
В четырёхугольнике \(AEOD\) два угла прямые, поэтому \[ \angle DOE=360^\circ-90^\circ-90^\circ-46^\circ=134^\circ. \] Угол между прямыми-высотами острый \(46^\circ\), но угол \(\angle DOE\) — смежный с ним, то есть \(134^\circ\).
\[ \sin A=\sqrt{1-\left(\frac7{25}\right)^2}=\frac{24}{25}. \] Так как \(AC=BC\), углы при основании равны, поэтому в прямоугольном треугольнике \(ABH\) \[ AH=AB\sin A=5\cdot\frac{24}{25}=\frac{24}{5}=4{,}8. \]
Касательные из одной точки равны: \(CA=CB\), значит \[ \angle ABC=\angle CAB=32^\circ,\quad \angle ACB=180^\circ-64^\circ=116^\circ. \] Радиусы перпендикулярны касательным, поэтому \[ \angle AOB=180^\circ-116^\circ=64^\circ. \]
Внутренний угол правильного \(n\)-угольника: \[ 160^\circ=\frac{(n-2)180^\circ}{n}. \] Отсюда \(n=18\).
\[ \sin A=\sqrt{1-\frac7{16}}=\frac34, \] \[ AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{12}{3/4}=16. \] Для высоты прямоугольного треугольника: \[ AH=AB\cos^2 A=16\cdot\frac7{16}=7. \]
Пусть боковая сторона \(x\). Тогда \[ S=\frac12 x^2\sin150^\circ =\frac12 x^2\cdot\frac12 =\frac{x^2}{4}=100. \] Значит \(x^2=400\), \(x=20\).
Обсуждение
8 сообщенийреши еще раз номер 2, развернутое решение
Номер 2. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(AC=8\), \(\cos\angle A=\frac23\). Нужно найти \(AB\).
Дано
\[ \triangle ABC,\quad \angle C=90^\circ,\quad AC=8,\quad \cos\angle A=\frac23. \]
Найти
\[ AB. \]
Решение
Так как угол \(C\) прямой, сторона \(AB\) является гипотенузой, а \(AC\) — катетом, прилежащим к углу \(A\).
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: \[ \cos\angle A=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} =\frac{AC}{AB}. \]
Подставляем известные значения: \[ \frac23=\frac{8}{AB}. \]
Решаем пропорцию: \[ 2\cdot AB=8\cdot 3, \] \[ 2AB=24, \] \[ AB=12. \]
Ответ
\[ \boxed{AB=12} \]
Проверка:
\[
\cos\angle A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{12}=\frac23.
\]
Всё сходится.
реши еще раз номер 3, развернутое решение
Номер 3. Около правильного треугольника со стороной
\[
a=22\sqrt3
\]
описана окружность. Нужно найти её радиус \(R\).
Дано
\[ \triangle ABC \text{ — правильный},\qquad AB=BC=AC=22\sqrt3. \]
Найти
\[ R \text{ — радиус описанной окружности.} \]
Решение
В правильном треугольнике все стороны равны \(a\), а все углы равны \(60^\circ\).
Для радиуса описанной окружности правильного треугольника есть формула: \[ R=\frac{a}{\sqrt3}. \]
Покажем, откуда она берётся.
Высота правильного треугольника: \[ h=\frac{a\sqrt3}{2}. \]
В правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, а медианы делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому радиус описанной окружности равен: \[ R=\frac23 h. \]
Подставляем высоту: \[ R=\frac23\cdot \frac{a\sqrt3}{2} =\frac{a\sqrt3}{3} =\frac{a}{\sqrt3}. \]
Теперь подставим \(a=22\sqrt3\): \[ R=\frac{22\sqrt3}{\sqrt3}=22. \]
Ответ
\[ \boxed{R=22} \]
Проверка через теорему синусов
\[ \frac{a}{\sin 60^\circ}=2R. \] Так как \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), получаем: \[ 2R=\frac{22\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=44, \] \[ R=22. \]
Ответ тот же: \(\boxed{22}\).
реши еще раз номер 4, развернутое решение
Номер 4. В исходном задании у трапеции основания равны \(5\) и \(9\). Диагональ делит среднюю линию на два отрезка. Нужно найти больший из них.
Дано
Трапеция \(ABCD\), \(AD\parallel BC\), \[ BC=5,\qquad AD=9. \] Проведена средняя линия \(MN\), где \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\). Диагональ \(AC\) пересекает \(MN\) в точке \(K\).
Решение
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям: \[ MN\parallel BC\parallel AD. \]
Рассмотрим треугольник \(ABC\).
В нём \(M\) — середина стороны \(AB\), а прямая \(MK\) параллельна \(BC\).
По свойству средней линии треугольника \(K\) — середина \(AC\), значит \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABC\). Поэтому \[ MK=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5. \]Рассмотрим треугольник \(ACD\).
В нём \(K\) — середина \(AC\), а \(N\) — середина \(CD\). Значит \(KN\) — средняя линия треугольника \(ACD\), поэтому \[ KN=\frac{AD}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5. \]Получили два отрезка средней линии: \[ 2{,}5 \quad \text{и} \quad 4{,}5. \] Больший из них: \[ 4{,}5. \]
Ответ
\[ \boxed{4{,}5} \]
Проверка: средняя линия трапеции равна \[ \frac{5+9}{2}=7, \] а сумма найденных отрезков: \[ 2{,}5+4{,}5=7. \] Всё сходится.
Это продолжение той же подборки по геометрии: на фото следующие задачи №12–20. Решаю их.
Ответы
- \(18{,}75\)
- \(24\)
- \(54^\circ\)
- \(136^\circ\)
- \(18\)
- \(1{,}5\)
- \(130^\circ\)
- \(4{,}8\)
- \(68\)
Решения
12. Боковые стороны \(30\), основание \(36\).
Высота к основанию:
\[
h=\sqrt{30^2-18^2}=24.
\]
Площадь:
\[
S=\frac12\cdot 36\cdot 24=432.
\]
Радиус описанной окружности:
\[
R=\frac{abc}{4S}
=\frac{30\cdot30\cdot36}{4\cdot432}
=18{,}75.
\]
13. Площадь треугольника через вписанную окружность:
\[
S=rp,
\]
где \(p\) — полупериметр.
\[
24=2p \Rightarrow p=12.
\]
Тогда периметр:
\[
P=2p=24.
\]
14. \(\angle MNP=36^\circ\) опирается на дугу \(MP\), значит: \[ \cup MP=72^\circ. \] Так как \(MN\) — диаметр: \[ \cup PN=180^\circ-72^\circ=108^\circ. \] Угол \(\angle PKN\) опирается на дугу \(PN\), поэтому: \[ \angle PKN=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ. \]
15. Радиус \(OA\) перпендикулярен касательной \(CA\), значит \(\triangle AOC\) прямоугольный.
\[
\angle AOC=90^\circ-46^\circ=44^\circ.
\]
Точки \(C,O,D\) лежат на одной прямой, поэтому:
\[
\angle AOD=180^\circ-44^\circ=136^\circ.
\]
Дуга \(AD\), заключённая внутри угла, равна \(136^\circ\).
16. Площадь параллелограмма: \[ S=AB\cdot AD\cdot \sin A =3\cdot21\cdot\frac67=54. \] Высоты: \[ h_1=\frac{S}{AB}=\frac{54}{3}=18, \] \[ h_2=\frac{S}{AD}=\frac{54}{21}=\frac{18}{7}. \] Большая высота равна \(18\).
17. Разность оснований: \[ 43-7=36. \] Проекция боковой стороны: \[ \frac{36}{2}=18. \] Тангенс острого угла: \[ \tan\alpha=\frac{27}{18}=1{,}5. \]
18. Третий угол треугольника: \[ 180^\circ-58^\circ-72^\circ=50^\circ. \] Тупой угол между высотами, выходящими из двух вершин, равен: \[ 180^\circ-50^\circ=130^\circ. \]
19. Так как \(AC=BC\), треугольник равнобедренный, поэтому: \[ \angle ABC=\angle BAC. \] В прямоугольном \(\triangle ABH\): \[ \sin\angle ABH=\frac{AH}{AB}. \] Значит: \[ AH=AB\cdot\sin\angle BAC =6\cdot\frac45=4{,}8. \]
20. Площадь треугольника: \[ S=\frac12\cdot34\cdot8\cdot\sin30^\circ =\frac12\cdot34\cdot8\cdot\frac12 =68. \]
