19

Ответ: в баллонах установится давление
\[ p=5{,}0\cdot 10^5\ \text{Па}=0{,}5\ \text{МПа}. \]

Решение

Температура не меняется, поэтому для каждого газа можно записать \(pV=\nu RT\). После соединения баллонов оба газа занимают суммарный объём
\[ V=V_1+V_2=2+5=7\ \text{л}. \]

Общее количество газа: \[ \nu=\nu_1+\nu_2 =\frac{p_1V_1}{RT}+\frac{p_2V_2}{RT}. \]

Тогда конечное давление: \[ p=\frac{\nu RT}{V_1+V_2} =\frac{p_1V_1+p_2V_2}{V_1+V_2}. \]

Подставляем: \[ p=\frac{12\cdot10^5\cdot2+2{,}2\cdot10^5\cdot5}{7} =\frac{(24+11)\cdot10^5}{7} =5\cdot10^5\ \text{Па}. \]

Можно проверить по закону Дальтона: парциальное давление гелия после смешивания
\[ p_{\mathrm{He}}=\frac{12\cdot10^5\cdot2}{7}\approx3{,}43\cdot10^5\ \text{Па}, \] аргона —
\[ p_{\mathrm{Ar}}=\frac{2{,}2\cdot10^5\cdot5}{7}\approx1{,}57\cdot10^5\ \text{Па}. \] Их сумма также равна \(5\cdot10^5\) Па.

Ответ: объём второго сосуда
\[ V_2 \approx 0{,}50\ \text{м}^3 \quad(\approx 500\ \text{л}). \]

Решение

После соединения сосудов газ занимает суммарный объём: \[ V=V_1+V_2. \]

Общее количество вещества: \[ \nu=\nu_1+\nu_2=2+6=8\ \text{моль}. \]

По уравнению состояния идеального газа: \[ pV=\nu RT, \] поэтому \[ V=\frac{\nu RT}{p}. \]

Подставляем \(p=33{,}2\cdot10^3\) Па, \(T=300\) К, \(R=8{,}31\) Дж/(моль·К): \[ V=\frac{8\cdot8{,}31\cdot300}{33{,}2\cdot10^3} \approx0{,}601\ \text{м}^3. \]

Тогда: \[ V_2=V-V_1=0{,}601-0{,}1 \approx0{,}501\ \text{м}^3. \]

Значит, неизвестный объём примерно равен: \[ \boxed{V_2\approx0{,}5\ \text{м}^3}. \]

Ответ: давление смеси
\[ p\approx 7{,}0\cdot10^{-3}\ \text{Па}\approx 7\ \text{мПа}. \]

Решение

1. Переводим данные в СИ: \[ V=2\ \text{л}=2\cdot10^{-3}\ \text{м}^3, \] \[ T=50^\circ\text{C}=323\ \text{К}. \]

2. Находим количество вещества кислорода. В нём \(10^{15}\) молекул: \[ \nu_{\mathrm O_2}=\frac{N}{N_A} =\frac{10^{15}}{6{,}02\cdot10^{23}} \approx1{,}66\cdot10^{-9}\ \text{моль}. \]

3. Находим количество вещества азота. Масса: \[ m=10^{-7}\ \text{г}=10^{-10}\ \text{кг}. \] Молярная масса: \[ M=28\ \text{г/моль}=0{,}028\ \text{кг/моль}. \] Тогда \[ \nu_{\mathrm N_2}=\frac{m}{M} =\frac{10^{-10}}{0{,}028} \approx3{,}57\cdot10^{-9}\ \text{моль}. \]

4. Общее количество вещества смеси: \[ \nu=\nu_{\mathrm O_2}+\nu_{\mathrm N_2} \approx1{,}66\cdot10^{-9}+3{,}57\cdot10^{-9} =5{,}23\cdot10^{-9}\ \text{моль}. \]

5. По уравнению состояния идеального газа: \[ pV=\nu RT, \] \[ p=\frac{\nu RT}{V}. \] Подставляем: \[ p=\frac{5{,}23\cdot10^{-9}\cdot8{,}31\cdot323} {2\cdot10^{-3}} \approx7{,}0\cdot10^{-3}\ \text{Па}. \]

Ответ:
\[ \boxed{p\approx7\cdot10^{-3}\ \text{Па}\approx7\ \text{мПа}}. \]

Давление очень маленькое, потому что в сосуде находится крайне малое число молекул.

Ответ: давление понизилось на 40 %.

Решение

Температуры переводим в кельвины: \[ T_1=727+273=1000\ \text{К},\qquad T_2=127+273=400\ \text{К}. \]

Масса газа при превращении озона в кислород сохраняется. Пусть масса равна \(m\). Тогда количества вещества:

\[ \nu_1=\frac{m}{M_{\mathrm O_3}}=\frac{m}{48\cdot10^{-3}}, \]

\[ \nu_2=\frac{m}{M_{\mathrm O_2}}=\frac{m}{32\cdot10^{-3}}. \]

Объём сосуда не меняется. По уравнению состояния идеального газа: \[ p_1V=\nu_1RT_1,\qquad p_2V=\nu_2RT_2. \]

Отсюда: \[ \frac{p_2}{p_1} =\frac{\nu_2T_2}{\nu_1T_1} =\frac{M_{\mathrm O_3}}{M_{\mathrm O_2}}\cdot\frac{T_2}{T_1}. \]

Подставляем: \[ \frac{p_2}{p_1} =\frac{48}{32}\cdot\frac{400}{1000} =1{,}5\cdot0{,}4=0{,}6. \]

Значит, конечное давление составляет \(60\%\) начального, поэтому оно понизилось на:

\[ 100\%-60\%=40\%. \]

\[ \boxed{\text{давление понизилось на }40\%} \]

Ответ: плотность смеси
\[ \rho \approx 0{,}52\ \text{кг/м}^3 \] (или \(0{,}52\ \text{г/л}\)).

Решение

1. Находим количество вещества каждого газа: \[ \nu_{\mathrm H_2}=\frac{4}{2}=2\ \text{моль}, \] \[ \nu_{\mathrm O_2}=\frac{32}{32}=1\ \text{моль}. \]

Всего: \[ \nu=2+1=3\ \text{моль}. \]

Общая масса смеси: \[ m=4+32=36\ \text{г}=0{,}036\ \text{кг}. \]

2. Температура: \[ T=7+273=280\ \text{К}. \]

3. Средняя молярная масса смеси: \[ M_{\text{ср}}=\frac{m}{\nu} =\frac{36}{3}=12\ \text{г/моль} =0{,}012\ \text{кг/моль}. \]

4. Плотность газа: \[ \rho=\frac{pM}{RT}. \]

Подставляем: \[ \rho=\frac{10^5\cdot0{,}012}{8{,}31\cdot280} \approx0{,}516\ \text{кг/м}^3. \]

\[ \boxed{\rho\approx0{,}52\ \text{кг/м}^3} \]

Можно проверить через объём: смесь занимает
\[ V=\frac{\nu RT}{p}\approx0{,}0698\ \text{м}^3, \] тогда
\[ \rho=\frac{0{,}036}{0{,}0698}\approx0{,}52\ \text{кг/м}^3. \]

Задача 31.26

Ответ: скорость течения газа
\[ v\approx 9{,}0\ \text{м/с}. \]

Решение

Массовый расход газа: \[ q=\frac{m}{t}=\frac{20}{600}\approx0{,}0333\ \text{кг/с}. \]

Плотность углекислого газа при данных условиях найдём из уравнения Менделеева — Клапейрона: \[ \rho=\frac{pM}{RT}. \]

\[ M=44\ \text{г/моль}=0{,}044\ \text{кг/моль}, \] \[ \rho=\frac{3{,}9\cdot10^5\cdot0{,}044}{8{,}31\cdot280} \approx7{,}38\ \text{кг/м}^3. \]

Массовый расход связан со скоростью течения: \[ q=\rho vS. \]

Отсюда: \[ v=\frac{q}{\rho S}. \]

Подставляем: \[ v=\frac{0{,}0333}{7{,}38\cdot5\cdot10^{-4}} \approx9{,}0\ \text{м/с}. \]

\[ \boxed{v\approx9\ \text{м/с}} \]

Если записать одной формулой: \[ v=\frac{mRT}{t\,pMS}. \]

Для задачи 27 не хватает условия — в чате указан только номер. Пришлите, пожалуйста, текст или фото задачи 27, и я решу её с объяснением.

Ответ: объём увеличится в
\[ \boxed{\sqrt{2}\approx1{,}41\ \text{раза}}. \]

Решение

По уравнению Менделеева — Клапейрона: \[ pV=\nu RT. \]

По условию: \[ p=\alpha V. \]

Подставляем: \[ \alpha V\cdot V=\nu RT, \] \[ \alpha V^2=\nu RT. \]

Значит, \[ T\sim V^2, \] или \[ \frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2. \]

Тогда: \[ \frac{V_2}{V_1}=\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} =\sqrt{\frac{400}{200}} =\sqrt{2}. \]

Следовательно, объём увеличится в \(\sqrt{2}\) раза.

Задача 31.29

Ответ:
\[ p_{\text{лев}}\approx 2{,}5\cdot10^5\ \text{Па}\approx 250\ \text{кПа}, \] \[ p_{\text{прав}}\approx 5{,}3\cdot10^5\ \text{Па}\approx 530\ \text{кПа}. \]

Решение

Объём каждой половины сосуда: \[ V_0=\frac{20}{2}=10\ \text{л}=0{,}01\ \text{м}^3. \]

Температура: \[ T=27^\circ\mathrm C=300\ \text{К}. \]

Кислород через перегородку не проходит, поэтому весь он остаётся в правой половине. Водород проходит через перегородку. При равновесии его парциальное давление слева и справа одинаково. Половины сосуда равны по объёму, значит, водород распределится поровну.

Количество водорода: \[ \nu_{\mathrm H_2}=\frac{4}{2}=2\ \text{моль}. \]

Следовательно, в каждой половине будет по \(1\) моль водорода.

Парциальное давление водорода: \[ p_{\mathrm H_2}=\frac{1\cdot8{,}31\cdot300}{0{,}01} \approx2{,}5\cdot10^5\ \text{Па}. \]

Количество кислорода: \[ \nu_{\mathrm O_2}=\frac{36}{32}=1{,}125\ \text{моль}. \]

Его парциальное давление в правой половине: \[ p_{\mathrm O_2}=\frac{1{,}125\cdot8{,}31\cdot300}{0{,}01} \approx2{,}8\cdot10^5\ \text{Па}. \]

В левой половине находится только водород, поэтому: \[ p_{\text{лев}}=p_{\mathrm H_2}\approx2{,}5\cdot10^5\ \text{Па}. \]

В правой половине находятся оба газа: \[ p_{\text{прав}}=p_{\mathrm H_2}+p_{\mathrm O_2} \approx2{,}5\cdot10^5+2{,}8\cdot10^5 \approx5{,}3\cdot10^5\ \text{Па}. \]

\[ \boxed{p_{\text{лев}}\approx2{,}5\cdot10^5\ \text{Па},\qquad p_{\text{прав}}\approx5{,}3\cdot10^5\ \text{Па}} \]