Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \[ \begin{pmatrix}-3&0\\1&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6&-1&0\\7&2&5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18&3&0\\ 41&9&25 \end{pmatrix}. \]

2. \[ x=-1,\qquad y=0,\qquad z=4. \] Ответ: \((-1;0;4)\).

3. Уравнение \(AB\): \[ 3x-4y+44=0. \]

Пять видов: \[ \begin{aligned} &3x-4y+44=0 &&\text{— общее;}\\ &y=\frac34x+11 &&\text{— с угловым коэффициентом;}\\ &\frac{x+12}{16}=\frac{y-2}{12} &&\text{— каноническое;}\\ &x=-12+16t,\quad y=2+12t &&\text{— параметрическое;}\\ &\frac{x}{-44/3}+\frac{y}{11}=1 &&\text{— в отрезках.} \end{aligned} \]

Высота \(CH\): \[ 4x+3y+42=0. \]

Прямая через \(C\), параллельная \(AB\): \[ 3x-4y-31=0. \]

4. Область решений — треугольник с вершинами \[ P(-4;-2),\qquad Q(-1;-2),\qquad R\left(-\frac85;-\frac45\right). \] Он лежит ниже обеих наклонных прямых, выше \(y=-2\), а условие \(x\le 6\) его не отсекает. Границы включены.

Как решать

1. Умножение матриц

Элемент произведения — это сумма произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй: \[ c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}. \] Размер \(2\times2\) умножается на \(2\times3\), значит результат \(2\times3\). Например: \[ c_{11}=(-3)\cdot6+0\cdot7=-18, \] \[ c_{22}=1\cdot(-1)+5\cdot2=9. \] Остальные элементы считаются так же.

2. Система уравнений

Из третьего уравнения: \[ x-3y-z=-5 \quad\Rightarrow\quad z=x-3y+5. \] Подставляем в первое: \[ 5x-2y+x-3y+5=-1, \] \[ 6x-5y=-6. \] Подставляем во второе: \[ 2x+y+2(x-3y+5)=6, \] \[ 4x-5y=-4. \] Вычитаем: \[ (6x-5y)-(4x-5y)=-6-(-4), \] \[ 2x=-2,\qquad x=-1. \] Тогда \[ 4(-1)-5y=-4 \Rightarrow y=0. \] И \[ z=-1-3\cdot0+5=4. \] Проверка подстановкой в исходные уравнения подтверждает \((-1;0;4)\).

3. Прямая \(AB\), высота и параллельная прямая

Вектор \[ \overrightarrow{AB}=(4-(-12);\,14-2)=(16;12). \] Угловой коэффициент: \[ k_{AB}=\frac{12}{16}=\frac34. \] По точке \(A(-12;2)\): \[ y-2=\frac34(x+12). \] Отсюда после преобразований: \[ 3x-4y+44=0. \]

Высота \(CH\) перпендикулярна \(AB\), поэтому её угловой коэффициент: \[ k_{CH}=-\frac{1}{3/4}=-\frac43. \] Через \(C(-3;-10)\): \[ y+10=-\frac43(x+3), \] \[ 4x+3y+42=0. \]

Прямая через \(C\), параллельная \(AB\), имеет тот же угловой коэффициент \(\frac34\): \[ y+10=\frac34(x+3), \] \[ 3x-4y-31=0. \]

4. Графическое решение системы неравенств

Строим границы: \[ 2x+y+4=0 \Rightarrow y=-2x-4, \] \[ x-2y=0 \Rightarrow y=\frac{x}{2}, \] \[ y=-2, \] \[ x=6. \]

По точкам-«пробникам» определяем нужные полуплоскости:

• для \(2x+y+4\le 0\) берём сторону ниже прямой \(y=-2x-4\);
• для \(x-2y\ge0\), то есть \(y\le \frac{x}{2}\), берём сторону ниже прямой \(y=\frac{x}{2}\);
• \(y\ge -2\) — выше горизонтальной прямой;
• \(x\le6\) — левее вертикальной прямой.

Пересечения границ: \[ y=-2,\quad y=\frac{x}{2}\Rightarrow x=-4, \] \[ y=-2,\quad y=-2x-4\Rightarrow x=-1, \] \[ -2x-4=\frac{x}{2}\Rightarrow x=-\frac85,\quad y=-\frac45. \] Получается треугольник с вершинами \[ (-4;-2),\quad(-1;-2),\quad\left(-\frac85;-\frac45\right). \] Прямая \(x=6\) находится правее, поэтому на этот треугольник не влияет.