Реши задание на изображении
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(1\) |
| 2 | \(\frac32\) |
| 3 | \(-\frac29\) |
| 4 | \(-\frac32\) |
| 5 | \(x\in\mathbb R\) |
| 6 | \(4\) |
| 7 | \(0\) |
| 8 | \(2;\ 3\) |
| 9 | \(\pm 2\sqrt2\) |
| 10 | \(-2;\ 4\) |
| 11 | \(2\) |
№12 в кадр не попал.
Как решать
Главный приём: если \(a>0,\ a\ne1\), то
\[
a^u=a^v \quad\Longleftrightarrow\quad u=v.
\]
Если появляется \(a^{2x}\), делают замену \(y=a^x>0\).
Подставляем числа:
- \(x=-2\): слева положительное число, справа \(-50\);
- \(x=0\): \(25^0=1\ne0\);
- \(x=1\): \(25^1=25\cdot1\).
Значит, подходит \(x=1\).
\[ 0{,}3^{5-2x}=0{,}09=0{,}3^2 \] Поэтому \[ 5-2x=2 \Rightarrow x=\frac32. \]
\[ \frac1{5\sqrt5}=5^{-3/2},\qquad \sqrt[3]{5}=5^{1/3}. \] Тогда \[ -\frac32x=\frac13 \Rightarrow x=-\frac29. \]
\[ 225=15^2, \] тогда \[ 15^2\cdot15^{2x+1}=15^{2x+3}=15^0. \] Отсюда \[ 2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac32. \]
\[ 4^{3x}=(2^2)^{3x}=2^{6x},\qquad 8^{2x}=(2^3)^{2x}=2^{6x}. \] Получили тождество: \[ 2^{6x}=2^{6x}. \] Поэтому подходит любое действительное \(x\).
\[ 3^{x-2}-3^{x-3} =3^{x-3}(3-1)=2\cdot3^{x-3}. \] Тогда \[ 2\cdot3^{x-3}=6 \Rightarrow 3^{x-3}=3 \] \[ x-3=1 \Rightarrow x=4. \]
\[ 25^x=(5^x)^2. \] Пусть \(y=5^x>0\): \[ y^2+4y-5=0 \Rightarrow (y-1)(y+5)=0. \] Подходит только \(y=1\), значит \[ 5^x=1 \Rightarrow x=0. \]
\[ 4^x=(2^x)^2. \] Пусть \(y=2^x>0\): \[ y^2-12y+32=0 \Rightarrow (y-4)(y-8)=0. \] Тогда \[ 2^x=4 \Rightarrow x=2, \] \[ 2^x=8 \Rightarrow x=3. \]
Запись читаю как \[ 2^{\sqrt{x^2+1}}=8=2^3. \] Поэтому \[ \sqrt{x^2+1}=3. \] Возводим в квадрат: \[ x^2+1=9 \Rightarrow x^2=8 \] \[ x=\pm2\sqrt2. \]
\[ 0{,}2=\frac15=5^{-1},\qquad \left(\frac15\right)^6=5^{-6}. \] Тогда \[ (0{,}2)^{x^2}\cdot5^{2x+2} =5^{-x^2}\cdot5^{2x+2} =5^{-x^2+2x+2}. \] Значит, \[ -x^2+2x+2=-6. \] \[ x^2-2x-8=0 \] \[ (x-4)(x+2)=0. \] Отсюда \[ x=4,\quad x=-2. \]
\[ 9^x=(3^x)^2. \] Пусть \(y=3^x>0\): \[ 2y^2-17y-9=0. \] \[ D=17^2+4\cdot2\cdot9=361=19^2. \] \[ y=\frac{17\pm19}{4}. \] Получаем \(y=9\) или \(y=-\frac12\). Второй корень не подходит, так как \(3^x>0\). Значит, \[ 3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2. \]
