Реши задание на изображении

Ответ:

1. Да, 13 мальчиков могло быть.
2. Наибольшее количество мальчиков — 13.
3. Наименьшая доля девочек — \(\boxed{\frac{33}{70}}\) (примерно \(47{,}1\%\)).

Как это понять

Пусть:

• \(M\) — всего мальчиков, \(D\) — всего девочек;
• \(m_б\) — мальчики, евшие бутерброды; \(d_б\) — девочки, евшие бутерброды;
• \(m_к\) — мальчики, евшие конфеты; \(d_к\) — девочки, евшие конфеты.

Из условия:

\[ m_б \le \frac{5}{16}(m_б+d_б) \Rightarrow m_б \le \frac{5}{11}d_б. \]

То есть на каждых 11 девочек, евших бутерброды, приходится не более 5 мальчиков.

Аналогично:

\[ m_к \le \frac{2}{5}(m_к+d_к) \Rightarrow m_к \le \frac{2}{3}d_к. \]

Каждый мальчик ел хотя бы что-то одно, поэтому

\[ M \le m_б+m_к. \]

Значит,

\[ M \le \frac{5}{11}d_б+\frac{2}{3}d_к. \]

Так как \(d_б\le D\) и \(d_к\le D\),

\[ M \le \left(\frac{5}{11}+\frac{2}{3}\right)D =\frac{37}{33}D. \]

Пункты 1 и 2

Всего 25 детей:

\[ M+D=25. \]

Подставляем:

\[ M \le \frac{37}{33}(25-M). \]

\[ 33M \le 925-37M, \]

\[ 70M \le 925, \]

\[ M \le 13{,}21\ldots \]

Значит, мальчиков не больше 13. И 13 действительно возможно.

Пример:
12 девочек едят и бутерброды, и конфеты;
5 мальчиков едят только бутерброды;
8 мальчиков едят только конфеты.

Проверка:

• бутерброды едят \(12+5=17\) детей, мальчиков среди них 5, причём
  \[ 5 \le \frac{5}{16}\cdot17; \]
• конфеты едят \(12+8=20\) детей, мальчиков среди них 8, причём
  \[ 8=\frac{2}{5}\cdot20. \]

Итого \(13+12=25\) детей, мальчиков 13.

Пункт 3

Из неравенства

\[ M\le \frac{37}{33}D \]

получаем:

\[ M+D \le \frac{70}{33}D. \]

Значит,

\[ \frac{D}{M+D}\ge \frac{33}{70}. \]

Эта доля достигается: пусть 33 девочки едят и бутерброды, и конфеты, 15 мальчиков едят только бутерброды, 22 мальчика едят только конфеты. Тогда всего \(33+15+22=70\) детей, девочек 33.

Ответ:

1. да;
2. 13;
3. \(\frac{33}{70}\).