Дано: треугольник ACB - равнобедренный с основание AB, D и E - середины боковых сторон. найдите периметр треульника DEF если AB = 16 см, AE = 15 см
В условии не указано, где именно точка \(F\). Ниже считаю, что \(F\) — середина основания \(AB\), а \(D\) и \(E\) — середины боковых сторон \(AC\) и \(BC\) соответственно. Иначе задача не имеет однозначного ответа.
Краткий ответ:
\[
P_{DEF}=8+2\sqrt{97}\ \text{см}\approx 27{,}7\ \text{см}.
\]
Решение:
Так как \(D\) — середина \(AC\), \(E\) — середина \(BC\), то \(DE\) — средняя линия треугольника \(ABC\): \[ DE=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8\ \text{см}. \]
Найдём боковую сторону \(AC=BC\). Пусть высота из \(C\) равна \(h\). Тогда \[ A(-8;0),\quad B(8;0),\quad C(0;h). \] Точка \(E\) — середина \(BC\), значит \[ E\left(4;\frac h2\right). \] Дано \(AE=15\). По теореме Пифагора: \[ 12^2+\left(\frac h2\right)^2=15^2, \] \[ 144+\frac{h^2}{4}=225, \] \[ \frac{h^2}{4}=81,\quad h=18. \]
Тогда \[ AC=BC=\sqrt{8^2+18^2}=\sqrt{388}=2\sqrt{97}\ \text{см}. \]
\(EF\) и \(DF\) — тоже средние линии, поэтому \[ EF=\frac{AC}{2}=\sqrt{97},\qquad DF=\frac{BC}{2}=\sqrt{97}. \]
Периметр: \[ P_{DEF}=DE+EF+DF= 8+\sqrt{97}+\sqrt{97} = 8+2\sqrt{97}\ \text{см}. \]
Проверка: периметр треугольника из средних линий равен половине периметра исходного треугольника: \[ P_{DEF}=\frac{16+2\sqrt{97}+2\sqrt{97}}{2} =8+2\sqrt{97}. \]
Если по вашему рисунку \(E\) — середина \(AC\), а не \(BC\), то решение проще: \(AC=2AE=30\), и тогда \[ P_{DEF}=\frac{16+30+30}{2}=38\ \text{см}. \]
Обсуждение
2 сообщенияА можно это решить без координат И ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Да — если, как обычно в этой задаче, \(F\) — середина основания \(AB\), а \(E\) — середина стороны \(AC\), то решение совсем короткое. Координаты и теорема Пифагора не нужны.
\(E\) — середина \(AC\), поэтому \[ AC=2\cdot AE=2\cdot15=30\text{ см}. \]
Треугольник \(ACB\) равнобедренный с основанием \(AB\), значит \[ BC=AC=30\text{ см}. \]
Точки \(D,E,F\) — середины сторон, поэтому \(DEF\) — серединный треугольник. Его стороны равны половинам соответствующих сторон исходного: \[ DE=\frac{AB}{2}=8, \] \[ EF=\frac{BC}{2}=15, \] \[ DF=\frac{AC}{2}=15. \]
Периметр: \[ P_{DEF}=8+15+15=38\text{ см}. \]
Или ещё короче: периметр серединного треугольника равен половине периметра исходного: \[ P_{DEF}=\frac{16+30+30}{2}=38\text{ см}. \]
Ответ: \(38\) см.
Если же в вашем чертеже \(E\) — середина \(BC\), а не \(AC\), то ответ будет другим: \(8+2\sqrt{97}\) см. Но его тоже можно получить без координат — по формуле медианы (теореме Аполлония).
