Реши задание на изображении

Кратко:

1. Нет.
2. Да, например при оценках \(0,0,0,0,1,1,1\).
3. Наибольшее значение равно \(\frac67\); достигается на оценках \(0,1,2,3,4,5,12\).

Решение

Упорядочим оценки: \[ a=x_1\le x_2\le \dots \le x_7=b, \] где \(a\) — минимальная оценка, \(b\) — максимальная. Пусть \[ M=x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 \] — сумма пяти средних оценок.

Тогда \[ R_A=\frac{a+b+M}{7},\qquad R_B=\frac{M}{5}. \] Значит, \[ R_A-R_B =\frac{a+b+M}{7}-\frac{M}{5} =\frac{5(a+b)-2M}{35}. \] То есть разность всегда имеет вид \(\frac{N}{35}\), где \(N\) — целое число.

1) Может ли \(R_A-R_B=\frac1{25}\)?

Нет. Если бы это было так, то \[ N=35\cdot \frac1{25}=\frac75, \] но \(N\) должно быть целым. Противоречие.

2) Может ли \(R_A-R_B=\frac1{35}\)?

Да. Возьмём оценки \[ 0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,1,\,1. \] Тогда \[ R_A=\frac{3}{7},\qquad R_B=\frac{0+0+0+1+1}{5}=\frac25. \] Следовательно, \[ R_A-R_B=\frac37-\frac25 =\frac{15-14}{35} =\frac1{35}. \]

3) Максимум при условии, что все оценки разные

При фиксированных \(a\) и \(b\) разность тем больше, чем меньше сумма \(M\) средних пяти оценок.

Так как все оценки различны, пять средних оценок не меньше чисел \[ a+1,\ a+2,\ a+3,\ a+4,\ a+5. \] Поэтому \[ M\ge (a+1)+(a+2)+\dots+(a+5)=5a+15. \] Тогда \[ R_A-R_B \le \frac{5(a+b)-2(5a+15)}{35} =\frac{b-a-6}{7}. \] Оценки лежат от \(0\) до \(12\), поэтому \[ b-a\le 12. \] Значит, \[ R_A-R_B\le \frac{12-6}{7}=\frac67. \]

Это значение достигается при оценках \[ 0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,12. \] Проверка: \[ R_A=\frac{0+1+2+3+4+5+12}{7} =\frac{27}{7}, \] \[ R_B=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3. \] Тогда \[ R_A-R_B=\frac{27}{7}-3=\frac67. \]

Ответ:

1. Нет.
2. Да, например \(0,0,0,0,1,1,1\).
3. \(\boxed{\frac67}\).