Реши задачи 3 дано, найти решение и рисунок

Ответ: углы параллелограмма равны \(45^\circ\) и \(135^\circ\), то есть
\[ \angle A=\angle C=45^\circ,\qquad \angle B=\angle D=135^\circ. \]

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(BD\) — диагональ и высота, \(BD\) равна одной из сторон.
Найти: все углы параллелограмма.

Рисунок (схема):

        B────C
       /│   /
      / │  /
     /  │ /
    A───D

На рисунке \(BD\perp AD\), \(BD\) — высота. Если высота проведена к другой стороне, рассуждение аналогично.

Решение:

1. Так как \(BD\) — высота, то \(BD\perp AD\). Значит, треугольник \(ABD\) прямоугольный с прямым углом при \(D\).

2. В \(\triangle ABD\) сторона \(AB\) — гипотенуза, а \(AD\) и \(BD\) — катеты. Гипотенуза больше катета, поэтому \(BD\) не может равняться \(AB\) или \(CD\). Значит, если \(BD\) равна стороне параллелограмма, то \(BD=AD\) (так как \(BC=AD\)).

3. Получаем равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABD\): \(AD=BD\). Тогда его острые углы равны: \[ \angle DAB=\angle ABD=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ. \]

4. Следовательно, острый угол параллелограмма: \[ \angle A=45^\circ. \] Соседний с ним угол: \[ \angle B=180^\circ-45^\circ=135^\circ. \] Противоположные углы параллелограмма равны: \[ \angle C=45^\circ,\qquad \angle D=135^\circ. \]

Проверка:
\[ 45^\circ+135^\circ+45^\circ+135^\circ=360^\circ. \]

Примечание: если диагональ-высота перпендикулярна другой стороне, получается такой же равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому ответ не меняется.