Геометрия 9 класс
Краткие ответы
а) \(\frac13\vec m+2\vec n\): отложить \(\frac13\vec m\), затем от его конца \(2\vec n\); замыкающий вектор — искомый.
б) \(3\vec n-\vec m\): отложить \(3\vec n\), затем вектор \(-\vec m\) (противоположный \(\vec m\)); замыкающий вектор — искомый.\(\overrightarrow{BO}=\frac12\vec x+\frac12\vec y\),
\(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\),
\(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).\(11\) см.
\(k=\frac13\).
1. Построение суммы и разности векторов
Используем правило треугольника: векторы откладывают последовательно, а сумма — вектор от начала первого до конца последнего.
а)
- Из точки \(A\) откладываем \(\overrightarrow{AB}=\frac13\vec m\).
- Из точки \(B\) откладываем \(\overrightarrow{BC}=2\vec n\).
- Тогда
\[ \overrightarrow{AC}=\frac13\vec m+2\vec n. \]
б)
- Из точки \(A\) откладываем \(\overrightarrow{AB}=3\vec n\).
- Из точки \(B\) откладываем \(\overrightarrow{BC}=-\vec m\): это вектор, противоположный \(\vec m\).
- Тогда
\[ \overrightarrow{AC}=3\vec n-\vec m. \]
Важно: векторы \(\vec m\) и \(\vec n\) неколлинеарны, поэтому построение не вырождается в одну прямую.
2. Выражение векторов в квадрате
Пусть точка \(B\) — начало координат. Тогда
\[
A=\vec x,\qquad C=\vec y.
\]
Так как \(ABCD\) — квадрат,
\[
D=A+C-B=\vec x+\vec y.
\]
Точка \(O\) — пересечение диагоналей, значит, середина \(BD\): \[ O=\frac{B+D}{2}=\frac{\vec x+\vec y}{2}. \] Отсюда \[ \overrightarrow{BO}=\frac12\vec x+\frac12\vec y. \]
Точка \(P\) — середина \(CD\), так как \(CP=PD\): \[ P=\frac{C+D}{2} =\frac{\vec y+(\vec x+\vec y)}{2} =\frac12\vec x+\vec y. \] Значит, \[ \overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y. \]
Наконец, \[ \overrightarrow{PA}=A-P =\vec x-\left(\frac12\vec x+\vec y\right) =\frac12\vec x-\vec y. \]
Проверка: \(O\) — середина и диагонали \(AC\): \[ \frac{A+C}{2}=\frac{\vec x+\vec y}{2}. \] Совпадает.
3. Средняя линия трапеции
В равнобедренной трапеции острые углы находятся при большем основании. Если один угол равен \(60^\circ\), то проекция боковой стороны на большее основание равна \[ 8\cos 60^\circ=8\cdot\frac12=4\text{ см}. \]
Так как трапеция равнобедренная, такие проекции есть с двух сторон. Поэтому большее основание больше меньшего на \[ 2\cdot4=8\text{ см}. \] Меньшее основание равно \(7\) см, значит, большее: \[ 7+8=15\text{ см}. \]
Средняя линия: \[ \frac{7+15}{2}=11\text{ см}. \]
Ответ: \(11\) см.
4. Пересечение медиан
Поместим начало координат в точку \(M\). Тогда \[ N=\vec x,\qquad K=\vec y. \]
Точка пересечения медиан — центр масс треугольника, поэтому \[ O=\frac{M+N+K}{3} =\frac{\vec x+\vec y}{3}. \]
Следовательно, \[ \overrightarrow{MO}=\frac13(\vec x+\vec y). \] По условию \[ \overrightarrow{MO}=k(\vec x+\vec y), \] значит, \[ k=\frac13. \]
Проверка через свойство медиан: медиана из \(M\) идёт в середину \(NK\), то есть имеет вектор \(\frac{\vec x+\vec y}{2}\). Медианы делятся точкой пересечения в отношении \(2:1\), считая от вершины: \[ \overrightarrow{MO}=\frac23\cdot\frac{\vec x+\vec y}{2} =\frac{\vec x+\vec y}{3}. \] Всё сходится.
Обсуждение
2 сообщенияНадо чертеж
Ниже — схематичные чертежи ко всем четырём номерам. Масштаб условный, но все нужные точки и обозначения показаны.
1. Суммы векторов
Векторы \(\vec m\) и \(\vec n\) выбери произвольно, но не на одной прямой.
а)
C
/ \
2n / \ AC = 1/3 m + 2n
/ \
A ───→ B
1/3 m
Строим: \(A\to B=\frac13\vec m\), затем \(B\to C=2\vec n\).
Результат — вектор \(A\to C\).
б)
B
/ \
3n / \ −m
/ \
A ────→ C
AC = 3n − m
Строим: \(A\to B=3\vec n\), затем \(B\to C=-\vec m\).
Результат — вектор \(A\to C\).
2. Квадрат \(ABCD\)
По обозначениям из решения:
\(\vec x=\overrightarrow{BA}\), \(\vec y=\overrightarrow{BC}\).
\(O\) — центр квадрата, \(P\) — середина \(CD\).
A ─────────────── D
│ \ O / │
x ↑│ \ • / │
│ \ / ● P
│ \ / │
B ───────→────── C
y
Для точного перечерчивания можно взять:
\[
B(0;0),\quad C(4;0),\quad D(4;4),\quad A(0;4),
\]
тогда
\[
O(2;2),\qquad P(4;2).
\]
3. Равнобедренная трапеция
Меньшее основание \(CD=7\) см, боковые стороны \(AD=BC=8\) см,
\(\angle A=\angle B=60^\circ\).
Опущены высоты \(DE\) и \(CF\).
D──────7──────C
/| |\
8 / | | \ 8
/ | | \
A───E─────────────F───B
4 7 4
AB = 15
При этом: \[ AE=FB=8\cos60^\circ=4, \] \[ AB=4+7+4=15. \]
Средняя линия: \[ \frac{7+15}{2}=11. \]
4. Треугольник \(MNK\) и точка пересечения медиан
\(O\) — точка пересечения медиан.
\(L\) — середина \(NK\), \(ML\) — медиана.
\[
\overrightarrow{MN}=\vec x,\qquad \overrightarrow{MK}=\vec y.
\]
M
/|\
x / | \ y
/ O \
/ | \
N────L────K
Точка \(O\) лежит на медиане \(ML\), причём
\[
MO:OL=2:1.
\]
Для точного перечерчивания можно взять: \[ M(0;6),\quad N(-4;0),\quad K(4;0), \] тогда \[ O(0;2),\quad L(0;0). \]
Если нужен только один из чертежей крупнее — напиши номер задания.
