Реши третье задание

Краткий ответ: решений нет, \(x\in\varnothing\).

Решаем каждое неравенство отдельно.

1-е неравенство

\[ \frac{x-1}{2}+\frac{4x+2}{3}\le 5 \]

Умножим обе части на \(6\), так как \(6>0\): \[ 3(x-1)+2(4x+2)\le 30 \] \[ 3x-3+8x+4\le 30 \] \[ 11x+1\le 30 \] \[ 11x\le 29 \] \[ x\le \frac{29}{11} \]

2-е неравенство

\[ \frac{2x-3}{3}+\frac{3(x-1)}{5}>7 \]

Умножим обе части на \(15\): \[ 5(2x-3)+9(x-1)>105 \] \[ 10x-15+9x-9>105 \] \[ 19x-24>105 \] \[ 19x>129 \] \[ x>\frac{129}{19} \]

Пересечение

Получаем одновременно: \[ x\le \frac{29}{11}\quad\text{и}\quad x>\frac{129}{19} \]

Но \[ \frac{29}{11}\approx 2{,}64,\qquad \frac{129}{19}\approx 6{,}79 \]

То есть \(x\) должен быть не больше \(2{,}64\) и одновременно больше \(6{,}79\). Это невозможно.

Ответ: решений нет, \(x\in\varnothing\).

Общий принцип: решаем каждое неравенство системы отдельно, а затем берём пересечение их решений.