Сделай алгоритм исследования этого графика. 1. область определения функции 2. область значения 3. нули функции или y=0 4. промежутки знаков постоянства 5. промежутки возрастания и убывания
Кратко по этому графику (концы нарисованной линии считаем включёнными):
\[ D(y)=[-3;5],\qquad E(y)=[-1{,}5;3]. \]
Нули: \(x\approx -1{,}5\) и \(x=2\).
\[ y>0 \text{ при } x\in(-1{,}5;2),\qquad y<0 \text{ при } x\in[-3;-1{,}5)\cup(2;5]. \]
Функция возрастает на \([-3;1]\), убывает на \([1;5]\).
Как это получать — алгоритм
Область определения \(D(y)\)
Смотрим, какие \(x\) «заняты» графиком: от самой левой точки до самой правой.
Здесь график идёт от \(x=-3\) до \(x=5\), разрывов и выколотых точек нет: \[ D(y)=[-3;5]. \]Область значений \(E(y)\)
Смотрим на \(y\): самое низкое и самое высокое положение графика.
Самая низкая точка — правый конец, \(y\approx -1{,}5\); самая высокая — вершина, \(y=3\).
Поэтому: \[ E(y)=[-1{,}5;3]. \]Нули функции, то есть \(y=0\)
Это точки, где график пересекает ось \(Ox\).
По рисунку: \[ x\approx -1{,}5,\qquad x=2. \]Промежутки знакопостоянства
Нули делят ось \(x\) на промежутки. Где график выше оси \(Ox\), там \(y>0\); где ниже — \(y<0\).
Получаем: \[ y>0 \text{ на } (-1{,}5;2), \] \[ y<0 \text{ на } [-3;-1{,}5)\cup(2;5]. \]Возрастание и убывание
Идём слева направо:- график поднимается до вершины при \(x=1\) — функция возрастает;
- после \(x=1\) график опускается — функция убывает.
Значит: \[ \text{возрастает на }[-3;1],\qquad \text{убывает на }[1;5]. \] Точка максимума — \((1;3)\).
Проверка: на промежутках знаки меняются именно в нулях; самый высокий \(y=3\), самый низкий \(y\approx-1{,}5\); интервалы возрастания и убывания стыкуются в точке максимума \(x=1\).
