Реши задание на изображении
Кратко:
- \( \frac{2}{7}=\frac{40}{140}\), \(\quad \frac{7}{20}=\frac{49}{140}\)
- \( \frac{9}{22}=\frac{9}{22}\), \(\quad \frac{1}{2}=\frac{11}{22}\)
- \( \frac{1}{5}=\frac{23}{115}\), \(\quad \frac{12}{23}=\frac{60}{115}\)
Как это делается
Наименьший общий знаменатель — это НОК знаменателей. Затем для каждой дроби находим дополнительный множитель:
\[
\text{доп. множитель}=\frac{\text{НОК}}{\text{старый знаменатель}}
\]
и умножаем на него числитель и знаменатель.
\(7\) и \(20\) взаимно простые, поэтому
\[ \text{НОК}=7\cdot20=140. \] Для первой дроби множитель \(20\), для второй — \(7\): \[ \frac{2}{7}=\frac{2\cdot20}{7\cdot20}=\frac{40}{140},\qquad \frac{7}{20}=\frac{7\cdot7}{20\cdot7}=\frac{49}{140}. \]\(2\) делит \(22\), поэтому НОК равен \(22\). Первая дробь уже с нужным знаменателем, а у второй множитель \(11\): \[ \frac{9}{22},\qquad \frac{1}{2}=\frac{1\cdot11}{2\cdot11}=\frac{11}{22}. \]
\(5\) и \(23\) — различные простые числа, поэтому
\[ \text{НОК}=5\cdot23=115. \] Для первой дроби множитель \(23\), для второй — \(5\): \[ \frac{1}{5}=\frac{23}{115},\qquad \frac{12}{23}=\frac{60}{115}. \]
Проверка: во всех парах знаменатели совпали, а значения дробей не изменились — числитель и знаменатель умножались на одно и то же число.
Обсуждение
2 сообщенияОбъяснение
Смысл задания: нужно заменить дроби равными им дробями, но так, чтобы у каждой пары получился одинаковый знаменатель — причём наименьший из возможных.
Для этого используем основное свойство дроби:
\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k} \]
То есть числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же число, и значение дроби не изменится.
Алгоритм:
- Находим наименьший общий знаменатель — НОК знаменателей.
- Делим этот общий знаменатель на старый знаменатель каждой дроби — получаем дополнительный множитель.
- Умножаем числитель и знаменатель дроби на этот множитель.
- Проверяем: знаменатели совпали, а дроби можно сократить обратно до исходных.
1) \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{7}{20}\)
Знаменатели \(7\) и \(20\) не имеют общих делителей, кроме \(1\). Поэтому
\[ \text{НОК}(7,20)=7\cdot20=140. \]
Для первой дроби дополнительный множитель:
\[ 140:7=20. \]
\[ \frac{2}{7}=\frac{2\cdot20}{7\cdot20}=\frac{40}{140}. \]
Для второй дроби:
\[ 140:20=7. \]
\[ \frac{7}{20}=\frac{7\cdot7}{20\cdot7}=\frac{49}{140}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{40}{140}\ \text{и}\ \frac{49}{140}} \]
Проверка: \(\frac{40}{140}\) сокращается на \(20\) и даёт \(\frac{2}{7}\), а \(\frac{49}{140}\) сокращается на \(7\) и даёт \(\frac{7}{20}\).
2) \(\frac{9}{22}\) и \(\frac{1}{2}\)
Число \(22\) делится на \(2\), поэтому наименьший общий знаменатель — это \(22\):
\[ \text{НОК}(22,2)=22. \]
Первая дробь уже имеет знаменатель \(22\), её менять не нужно:
\[ \frac{9}{22}. \]
Для второй дроби дополнительный множитель:
\[ 22:2=11. \]
\[ \frac{1}{2}=\frac{1\cdot11}{2\cdot11}=\frac{11}{22}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{9}{22}\ \text{и}\ \frac{11}{22}} \]
Проверка: \(\frac{11}{22}\) сокращается на \(11\) и даёт \(\frac{1}{2}\).
3) \(\frac{1}{5}\) и \(\frac{12}{23}\)
Числа \(5\) и \(23\) — простые и различные, поэтому общий знаменатель:
\[ 5\cdot23=115. \]
Для первой дроби:
\[ 115:5=23, \]
\[ \frac{1}{5}=\frac{1\cdot23}{5\cdot23}=\frac{23}{115}. \]
Для второй дроби:
\[ 115:23=5, \]
\[ \frac{12}{23}=\frac{12\cdot5}{23\cdot5}=\frac{60}{115}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{23}{115}\ \text{и}\ \frac{60}{115}} \]
Проверка: \(\frac{23}{115}\) сокращается на \(23\) и даёт \(\frac{1}{5}\), а \(\frac{60}{115}\) сокращается на \(5\) и даёт \(\frac{12}{23}\).
Главное: общий знаменатель — это НОК старых знаменателей, а дополнительный множитель показывает, во сколько раз нужно увеличить знаменатель дроби. На столько же увеличиваем и числитель.
