Реши задание на изображении
Краткий ответ
Данные: \(2,3,2,4,5,2,3,2,3,4\), всего \(n=10\) отметок.
- среднее арифметическое: 3
- мода: 2
- медиана: 3
- размах: 3
- дисперсия: 1
- стандартное отклонение: 1
1. Таблица частот
| Оценка | Частота | Относительная частота | Накопленная частота | Угол для круговой диаграммы |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | \(0,4\) — 40% | 4 | \(144^\circ\) |
| 3 | 3 | \(0,3\) — 30% | 7 | \(108^\circ\) |
| 4 | 2 | \(0,2\) — 20% | 9 | \(72^\circ\) |
| 5 | 1 | \(0,1\) — 10% | 10 | \(36^\circ\) |
| Итого | 10 | 1 | \(360^\circ\) |
2. Диаграммы
Столбиковая диаграмма: по горизонтали оценки \(2,3,4,5\), по вертикали их частоты \(4,3,2,1\).
частота
4 | █
3 | █ █
2 | █ █ █
1 | █ █ █ █
+---------
2 3 4 5
Круговая диаграмма: круг делится на секторы
\(2\) — \(144^\circ\), \(3\) — \(108^\circ\), \(4\) — \(72^\circ\), \(5\) — \(36^\circ\).
График-линия — полигон частот: точки
\[
(2;4),\ (3;3),\ (4;2),\ (5;1)
\]
соединяются последовательно.
Если нужен график по порядку отметок, точки такие: \[ (1;2),(2;3),(3;2),(4;4),(5;5),(6;2),(7;3),(8;2),(9;3),(10;4). \]
3. Средние характеристики
\[ \bar x=\frac{2+3+2+4+5+2+3+2+3+4}{10} =\frac{30}{10}=3 \]
Мода — самое частое значение: это \(2\), она встречается 4 раза.
Отсортированный ряд: \[ 2,2,2,2,3,3,3,4,4,5 \] При \(n=10\) медиана — среднее 5-го и 6-го значений: \[ \frac{3+3}{2}=3 \]
Размах: \[ 5-2=3 \]
4. Отклонения
Среднее \(\bar x=3\), поэтому считаем \(x_i-3\):
x_i 2 3 2 4 5 2 3 2 3 4
x_i - 3 -1 0 -1 1 2 -1 0 -1 0 1
|x_i - 3| 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1
Сумма отклонений: \[ -1+0-1+1+2-1+0-1+0+1=0 \]
Сумма абсолютных отклонений: \[ 1+0+1+1+2+1+0+1+0+1=8 \]
Среднее абсолютное отклонение: \[ \frac{8}{10}=0,8 \]
5. Дисперсия двумя способами
Первый способ — через отклонения от среднего:
Сумма квадратов отклонений: \[ 1^2+0^2+1^2+1^2+2^2+1^2+0^2+1^2+0^2+1^2=10 \]
\[ D=\frac{10}{10}=1 \]
Второй способ — через среднее квадратов:
\[ D=\overline{x^2}-(\bar x)^2 \]
Сумма квадратов значений: \[ 2^2+3^2+2^2+4^2+5^2+2^2+3^2+2^2+3^2+4^2=100 \]
\[ D=\frac{100}{10}-3^2=10-9=1 \]
Оба способа дают одно и то же: \(D=1\).
Стандартное отклонение: \[ \sigma=\sqrt{D}=\sqrt{1}=1 \]
Проверка: сумма отклонений действительно равна \(0\), а оба способа вычисления дисперсии дали одинаковый результат.
Примечание: здесь использовано школьное определение дисперсии — деление на \(n=10\). Если требуется выборочная дисперсия, делят на \(n-1=9\), тогда \(D\approx1{,}11\), \(\sigma\approx1{,}05\).
Обсуждение
2 сообщенияФормула дисперсии
Дисперсия показывает средний квадрат отклонения значений от среднего.
Основная формула (школьная, для \(n\) значений): \[ D=\frac{(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n} \] или короче: \[ D=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 \]
где \[ \bar x=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \] — среднее арифметическое.
Второй способ вычисления: \[ D=\overline{x^2}-(\bar x)^2 \] то есть \[ D=\frac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}{n}-\bar x^2. \]
Если значения повторяются (как в вашей задаче, где \(2\) встречается 4 раза): \[ D=\frac{n_1(x_1-\bar x)^2+n_2(x_2-\bar x)^2+\dots}{n}, \] где \(n_i\) — частота значения \(x_i\), а \(n=n_1+n_2+\dots\).
В вашей задаче: \[ D=\frac{10}{10}=1 \] при \(\bar x=3\), поэтому стандартное отклонение: \[ \sigma=\sqrt D=\sqrt1=1. \]
Если считается выборочная дисперсия (с поправкой), то делят на \(n-1\): \[ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2. \]
