Реши у=х²-2х+3
Краткий ответ
Уравнение $x^2-2x+3=0$ не имеет действительных корней (D = −8 < 0). А вот как функция $y=x^2-2x+3$ выглядит целиком:
- вершина параболы — точка $(1;,2)$;
- ветви направлены вверх, значит наименьшее значение $y_{\min}=2$, область значений $y\in[2;+\infty)$;
- ось симметрии $x=1$;
- график не пересекает ось $Ox$, зато пересекает $Oy$ в точке $(0;3)$;
- убывает при $x\le 1$, возрастает при $x\ge 1$.
Ключевые шаги
1. Проверяем, есть ли корни. Для $x^2-2x+3=0$ коэффициенты $a=1,\ b=-2,\ c=3$:
$$D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8.$$
$D<0$ → корней нет, поэтому график целиком лежит выше оси $Ox$.
2. Находим вершину. Абсцисса вершины: $x_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{2}=1$. Подставляем в формулу:
$$y_0=1^2-2\cdot1+3=2.$$
Вершина $(1;,2)$ — точка минимума, потому что $a=1>0$.
3. Приводим к виду «полный квадрат» — самый быстрый способ увидеть то же самое:
$$y=x^2-2x+3=(x^2-2x+1)+2=(x-1)^2+2.$$
Отсюда сразу видно: квадрат не меньше нуля, значит $y\ge 2$, причём $y=2$ только при $x=1$.
4. Строим по точкам для контроля. Берём точки, симметричные относительно $x=1$:
| $x$ | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 |
Значения при $x=-1$ и $x=3$ совпадают, при $x=0$ и $x=2$ — тоже. Это подтверждает симметрию относительно прямой $x=1$.
5. Проверка. Раскрываем $(x-1)^2+2=x^2-2x+1+2=x^2-2x+3$ — совпало. По графику: при $x=1$ получаем $y=2$, при $x=2$ получаем $4-4+3=3$ — таблица верна.
Главный принцип: для любой параболы $y=ax^2+bx+c$ сначала смотрите на $a$ (направление ветвей) и на вершину $x_0=-\frac{b}{2a}$, а наличие корней проверяйте через $D$. По этим двум данным картина функции восстанавливается почти полностью.
Обсуждение
1 сообщениеЦитатная характеристика персонажей с повести Карамзина "бедная Лиза"
