Реши 4.15 и 4.16
Кратко:
4.15 — \(DD_1=30\) см.
4.16 — \(A_1C_1=5\) см.
4.15
Так как \(E\) лежит на отрезке \(CD\),
\[ CD=CE+DE=6+9=15\text{ см}. \]
Прямые \(DD_1\) и \(EE_1\) параллельны. В плоскости, проходящей через \(CD\) и эти прямые, получаем треугольники \(\triangle CDD_1\) и \(\triangle CEE_1\). Они подобны, потому что \(EE_1\parallel DD_1\).
Значит,
\[ \frac{EE_1}{DD_1}=\frac{CE}{CD}. \]
Подставляем:
\[ \frac{12}{DD_1}=\frac{6}{15}, \]
\[ DD_1=\frac{12\cdot 15}{6}=30\text{ см}. \]
Проверка: \(12:30=6:15\), то есть \(2:5=2:5\).
4.16
1) Проведём плоскость \(\gamma\) через прямую \(AB\) и направление данных параллельных прямых. Все три прямые, проходящие через \(A,B,C\), лежат в этой плоскости \(\gamma\).
Точки \(A_1,B_1,C_1\) принадлежат одновременно плоскости \(\gamma\) и плоскости \(\alpha\). Значит, они лежат на линии пересечения этих плоскостей, то есть на одной прямой.
2) Точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в отношении
\[ AC:CB=4:8=1:2. \]
При параллельном проектировании отношение отрезков на одной прямой сохраняется:
\[ A_1C_1:C_1B_1=AC:CB=1:2. \]
По условию \(B_1C_1=10\) см. Пусть \(A_1C_1=x\), тогда
\[ x:10=1:2, \]
\[ x=5\text{ см}. \]
Ответ: \(A_1C_1=5\) см.
Обсуждение
2 сообщенияпочему A,B,C лежат в альфа?
В 4.16 \(A,B,C\) не обязаны лежать в плоскости \(\alpha\).
По условию через \(A,B,C\) проходят параллельные прямые, и именно они пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A_1,B_1,C_1\). Поэтому:
- \(A_1,B_1,C_1 \in \alpha\) — по определению, это точки пересечения с \(\alpha\);
- \(A,B,C\) лежат на одной прямой, но не в \(\alpha\);
- все три параллельные прямые лежат в плоскости \(\gamma\), проходящей через прямую \(ABC\) и направление этих прямых;
- значит, \(A_1,B_1,C_1\) лежат на линии пересечения плоскостей \(\gamma\) и \(\alpha\), то есть на одной прямой.
Если же в твоём условии прямо сказано: «точки \(A,B,C\) лежат в плоскости \(\alpha\)», тогда это дано по условию, доказывать не нужно. Но в решении 4.16 это не используется.
