Реши с объяснением

Потому что периметр параллелограмма считаем так:

\[ P=2(a+b) \]

Пусть меньшая сторона \(x\), тогда большая \(x+3\). Значит,

\[ P=2\bigl(x+(x+3)\bigr)=150 \]

Упрощаем скобку:

\[ x+x+3=2x+3 \]

Получаем:

\[ 2(2x+3)=150 \]

Делим обе части на \(2\):

\[ 2x+3=75 \]

Дальше:

\[ 2x=72,\quad x=36 \]

То есть стороны:

\[ 36 \text{ см и } 36+3=39 \text{ см} \]

Проверка:

\[ 2(36+39)=2\cdot75=150 \]

Всё сходится.

Решения по номерам:

1. \(B\) и \(C\) — середины сторон \(PE\) и \(PR\), значит \(BC\) — средняя линия треугольника \(PER\).
   Поэтому периметр \(\triangle BPC\) в 2 раза меньше периметра \(\triangle PER\): \[ P_{PER}=2\cdot 3=6\text{ см}. \]

2. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Пусть боковая сторона \(x\): \[ 77+66+2x=269, \] \[ 2x=126,\quad x=63\text{ см}. \]

3. В \(\triangle MRZ\): \[ \angle M=180^\circ-41^\circ-42^\circ=97^\circ. \] Это угол параллелограмма при вершине \(M\). Соседний угол: \[ 180^\circ-97^\circ=83^\circ. \] Углы параллелограмма: \[ 97^\circ,\ 83^\circ,\ 97^\circ,\ 83^\circ. \]

4. Диагональ делит угол параллелограмма на \(16^\circ\) и \(61^\circ\): \[ 16^\circ+61^\circ=77^\circ. \] Соседний угол: \[ 180^\circ-77^\circ=103^\circ. \] Больший угол равен \(103^\circ\).

5. Соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\): \[ 180^\circ-179^\circ=1^\circ. \] Меньший угол равен \(1^\circ\).

6. Биссектриса угла \(M\) параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник, поэтому \[ MN=NT=49. \] Тогда \[ NH=NT+TH=49+31=80. \] Периметр: \[ P=2(MN+NH)=2(49+80)=258\text{ см}. \]

7. Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине: \[ \frac{NR}{2}=10,\quad \frac{RX}{2}=15,\quad \frac{NX}{2}=23. \] Ответ: \(10,\ 15,\ 23\) см.

8. В прямоугольной трапеции два угла по \(90^\circ\), а оставшиеся два в сумме дают \(180^\circ\): \[ 180^\circ-95^\circ=85^\circ. \] Меньший угол равен \(85^\circ\).

9. Пусть меньшая сторона \(x\). Тогда другие стороны \(10x\) и \(9x\). Получаем: \[ x+10x+9x+39=99, \] \[ 20x=60,\quad x=3. \] Неизвестные стороны: \[ 3\text{ см},\quad 30\text{ см},\quad 27\text{ см}. \]

10. Пусть меньшая сторона \(x\), тогда большая \(x+3\). Периметр параллелограмма: \[ 2(x+x+3)=150. \] \[ 2(2x+3)=150. \] Делим обе части на 2: \[ 2x+3=75. \] Далее: \[ 2x=72,\quad x=36. \] Стороны: \[ 36\text{ см и }39\text{ см}. \]

11. Сторона ромба: \[ \frac{64}{4}=16. \] Высота \(OD=8\). В прямоугольном \(\triangle ODR\): \[ \sin\angle ORZ=\frac{OD}{OR}=\frac{8}{16}=\frac12. \] Значит, \[ \angle ORZ=30^\circ. \]

12. В прямоугольнике диагональ \(KN=40\), \(\angle XNK=30^\circ\). В \(\triangle XNK\): \[ XK=KN\cdot \sin30^\circ=40\cdot\frac12=20. \] Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам: \[ XT=KT=\frac{KN}{2}=20. \] Значит, в \(\triangle XTK\) все стороны по \(20\), то есть он равносторонний.
    Углы: \[ 60^\circ,\ 60^\circ,\ 60^\circ. \] Периметр: \[ P=3\cdot 20=60\text{ см}. \]

Ответы:

1. \(6\) см; 2) \(63\) см; 3) \(97^\circ,83^\circ,97^\circ,83^\circ\); 4) \(103^\circ\); 5) \(1^\circ\); 6) \(258\) см; 7) \(10,15,23\) см; 8) \(85^\circ\); 9) \(3,30,27\) см; 10) \(36\) и \(39\) см; 11) \(30^\circ\); 12) все углы по \(60^\circ\), периметр \(60\) см.

Краткие ответы

1. \(6\) см
2. \(63\) см
3. \(97^\circ,\ 83^\circ,\ 97^\circ,\ 83^\circ\)
4. \(103^\circ\)
5. \(1^\circ\)
6. \(258\) см
7. \(10,\ 15,\ 23\) см
8. \(85^\circ\)
9. \(3,\ 27,\ 30\) см
10. \(36\) и \(39\) см
11. \(30^\circ\)
12. углы по \(60^\circ\), периметр \(60\) см

Решения

1. \(BC\) — средняя линия треугольника \(PER\), значит периметр \(\triangle BPC\) в 2 раза меньше периметра \(\triangle PER\): \[ P_{PER}=2\cdot 3=6\text{ см}. \]

2. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Пусть каждая равна \(x\): \[ 77+66+2x=269, \] \[ 2x=126,\quad x=63\text{ см}. \]

3. В треугольнике \(MRZ\): \[ \angle M=180^\circ-41^\circ-42^\circ=97^\circ. \] У параллелограмма противоположные углы равны, а соседние дают в сумме \(180^\circ\): \[ 180^\circ-97^\circ=83^\circ. \] Значит, углы: \[ 97^\circ,\ 83^\circ,\ 97^\circ,\ 83^\circ. \]

4. Диагональ делит угол параллелограмма на два угла: \[ 16^\circ+61^\circ=77^\circ. \] Тогда больший угол: \[ 180^\circ-77^\circ=103^\circ. \]

5. Соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\): \[ 180^\circ-179^\circ=1^\circ. \]

6. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник: \[ MN=NT=49. \] Тогда \[ NH=NT+TH=49+31=80. \] Периметр: \[ P=2(49+80)=258\text{ см}. \]

7. Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны: \[ \frac{NR}{2}=\frac{20}{2}=10, \] \[ \frac{RX}{2}=\frac{30}{2}=15, \] \[ \frac{NX}{2}=\frac{46}{2}=23. \] Ответ: \(10,\ 15,\ 23\) см.

8. В прямоугольной трапеции два угла по \(90^\circ\). Остальные два угла дают в сумме \(180^\circ\): \[ 180^\circ-95^\circ=85^\circ. \]

9. Пусть меньшая сторона равна \(x\), тогда две другие равны \(10x\) и \(9x\). Четвёртая сторона \(39\) см: \[ x+10x+9x+39=99, \] \[ 20x=60,\quad x=3. \] Значит, стороны: \[ 3\text{ см},\quad 30\text{ см},\quad 27\text{ см}. \]

10. Пусть меньшая сторона \(x\), тогда большая \(x+3\). Периметр параллелограмма: \[ 2(x+x+3)=150. \] \[ 2(2x+3)=150, \] \[ 2x+3=75, \] \[ 2x=72,\quad x=36. \] Стороны: \[ 36\text{ см и }39\text{ см}. \]

11. Сторона ромба: \[ 64:4=16. \] Высота \(OD=8\). В прямоугольном треугольнике: \[ \sin\angle ORZ=\frac{OD}{OR}=\frac{8}{16}=\frac12. \] Значит, \[ \angle ORZ=30^\circ. \]

12. В прямоугольном треугольнике \(XNK\): \[ XK=KN\cdot\sin30^\circ=40\cdot\frac12=20. \] Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам: \[ XT=KT=\frac{KN}{2}=20. \] Значит, треугольник \(XTK\) равносторонний: все его углы по \(60^\circ\), а периметр: \[ P=3\cdot20=60\text{ см}. \]

Ответ: 1) \(6\); 2) \(63\); 3) \(97^\circ,83^\circ,97^\circ,83^\circ\); 4) \(103^\circ\); 5) \(1^\circ\); 6) \(258\); 7) \(10,15,23\); 8) \(85^\circ\); 9) \(3,27,30\); 10) \(36\) и \(39\); 11) \(30^\circ\); 12) по \(60^\circ\), \(P=60\) см.