Начертить 3 неколинеарных вектора a b c .Построить вектора равны А) 2 вектора a+ одна четвертая вектор b Б) 3 вектора b - вектор a

Кратко:
\[ \vec r_1=2\vec a+\frac14\vec b,\qquad \vec r_2=3\vec b-\vec a. \] Строим каждый вектор «цепочкой»: сначала нужное число раз откладываем первый вектор, затем от конца откладываем второй. Результат — вектор от начала цепочки к её концу. Вектор \(\vec c\) в этих выражениях не участвует, но по условию его тоже рисуем.

Что важно помнить

• \(2\vec a\) — это один вектор, направленный так же, как \(\vec a\), но в 2 раза длиннее.
• \(\frac14\vec b\) — вектор в том же направлении, что \(\vec b\), но длина равна четверти длины \(\vec b\).
• \(-\vec a\) — вектор такой же длины, как \(\vec a\), но направленный противоположно.
• Сумма строится по правилу треугольника: начало второго вектора приставляем к концу первого.

А) Построить \(2\vec a+\frac14\vec b\)

1. Выбери точку \(O\).
2. Отложи от \(O\) вектор \(\overrightarrow{OP}=\vec a\).
3. От точки \(P\) отложи ещё один такой же вектор: \(\overrightarrow{PM}=\vec a\).
   Тогда \(\overrightarrow{OM}=2\vec a\).
4. От точки \(M\) отложи вектор
   \[ \overrightarrow{MN}=\frac14\vec b \] — параллельно \(\vec b\), в ту же сторону, но в 4 раза короче.
5. Соедини начало \(O\) с концом \(N\):
   \[ \boxed{\overrightarrow{ON}=2\vec a+\frac14\vec b} \]

Ответ — вектор со стрелкой из \(O\) в \(N\).

Б) Построить \(3\vec b-\vec a\)

Записываем так: \[ 3\vec b-\vec a=3\vec b+(-\vec a). \]

1. Выбери точку \(S\).
2. Отложи от \(S\) вектор \(\overrightarrow{SQ}=\vec b\).
3. От \(Q\) ещё раз отложи \(\vec b\): \(\overrightarrow{QR}=\vec b\).
4. От \(R\) ещё раз отложи \(\vec b\): \(\overrightarrow{RT}=\vec b\).
   Тогда \(\overrightarrow{ST}=3\vec b\).
5. От точки \(T\) отложи вектор
   \[ \overrightarrow{TV}=-\vec a \] — он параллелен \(\vec a\), но направлен в противоположную сторону.
6. Соедини \(S\) с \(V\):
   \[ \boxed{\overrightarrow{SV}=3\vec b-\vec a} \]

Ответ — вектор со стрелкой из \(S\) в \(V\).

Проверка

Если \(\vec a=(x_a;y_a)\), \(\vec b=(x_b;y_b)\), то при начале координат: \[ 2\vec a+\frac14\vec b= \left(2x_a+\frac14x_b;\;2y_a+\frac14y_b\right), \] \[ 3\vec b-\vec a= \left(3x_b-x_a;\;3y_b-y_a\right). \] Координаты конца построенной ломаной должны получиться такими же.

Общий принцип для похожего задания: выражение \(m\vec a+n\vec b\) строят так — откладывают \(m\) раз вектор \(\vec a\), затем от его конца \(n\) раз вектор \(\vec b\); если коэффициент отрицательный, вектор откладывают в противоположном направлении.