Некто записал пятизначное число, делящееся на 9. Переставил несколько цифр и получил новое число. Делится ли это новое число на 9? Почему?

Да, новое число тоже делится на 9.

Причина: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. При перестановке цифр сама сумма цифр не меняется.

Например: \[ 12348:\quad 1+2+3+4+8=18 \] Число делится на 9. Переставим цифры: \[ 84132:\quad 8+4+1+3+2=18 \] Сумма та же, значит, и новое число делится на 9: \[ 84132:9=9348 \]

Это работает потому, что каждая цифра в десятичной записи даёт при делении на 9 такой же остаток, как она сама: \[ 10^n \equiv 1 \pmod 9. \] Поэтому остаток числа при делении на 9 определяется только суммой цифр, а порядок цифр не важен.