Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Как решить и понять принцип:

Ищем разложение квадратного трёхчлена на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Проверим раскрытием скобок: \[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \] Всё совпало.

Теперь уравнение имеет вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]

Проверка:

• при \(x=2\): \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\);
• при \(x=3\): \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\).

Принцип на будущее: для уравнения \(x^2+px+q=0\) часто удобно представить левую часть как \((x-a)(x-b)\), где \(a+b=-p\), а \(ab=q\). Здесь \(a+b=5\), \(ab=6\), поэтому подходят \(2\) и \(3\).