74
Краткий ответ: через точку \(A\), не лежащую на прямой \(a\), можно провести только один перпендикуляр к \(a\). Поэтому среди трёх различных прямых перпендикулярной к \(a\) может быть не более одной. Значит, как минимум две из них не перпендикулярны \(a\).
Доказательство от противного:
- Пусть через \(A\) проведены три различные прямые, пересекающие \(a\).
- Предположим, что хотя бы две из них перпендикулярны \(a\). Обозначим их, например, \(l_1\) и \(l_2\).
- Но из точки, не лежащей на прямой, можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой.
- Значит, \(l_1\) и \(l_2\) должны совпадать, а это противоречит тому, что мы рассматриваем три различные прямые.
- Следовательно, перпендикулярных к \(a\) среди них не больше одной.
Значит, по крайней мере две прямые не перпендикулярны прямой \(a\). Что и требовалось доказать.
Обсуждение
8 сообщенийможешь рисуноком
Да, вот схема:
A
/|\
/ | \
/ | \
/ | \
a ───C────B────D───
На рисунке:
- \(AB=l_1\) — перпендикуляр к прямой \(a\), то есть \(AB \perp a\);
- \(AC=l_2\) и \(AD=l_3\) — две другие прямые, они наклонены к \(a\), значит, не перпендикулярны ей;
- через точку \(A\), не лежащую на \(a\), можно провести только один перпендикуляр к \(a\).
Поэтому второй перпендикуляр среди трёх прямых невозможен — как минимум две прямые не перпендикулярны \(a\). Если же ни одна из трёх не перпендикулярна, условие тем более выполнено.
а сделай так чтобы одна была перпендикулярна
Вот рисунок, где ровно одна из трёх прямых перпендикулярна \(a\):
A
/|\
/ | \
/ | \
/ | \
a ──C────B────D──
└┘
Обозначения:
- \(AB\) — перпендикуляр к прямой \(a\), поэтому \(AB \perp a\);
- \(AC\) и \(AD\) — наклонные прямые, они не перпендикулярны \(a\);
- прямой угол при точке \(B\) показывает, что \(AB \perp a\).
Итак, через точку \(A\) проведены три различные прямые: одна перпендикулярна \(a\), а две — нет. Это и требовалось показать.
75,77
75
Через 4 точки, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, можно провести столько прямых, сколько существует пар точек:
\[ C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6 \]
Например, для точек \(A,B,C,D\):
A───────B
│ \ / │
│ X │
│ / \ │
D───────C
Прямые: \(AB, AC, AD, BC, BD, CD\).
Ответ: 6 прямых.
77
Три прямые проходят через одну точку, значит, они образуют 6 лучей с общим началом.
Всего пар лучей:
\[ C_6^2=\frac{6\cdot5}{2}=15 \]
Но 3 пары лучей являются противоположными — они образуют развёрнутые углы. Их не считаем:
\[ 15-3=12 \]
Ответ: 12 неразвёрнутых углов.
87
Ответ: \(90^\circ\).
Пусть даны смежные углы \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\). Их сумма:
\[ \angle AOB+\angle BOC=180^\circ \]
Проведём биссектрисы:
- \(OM\) — биссектриса \(\angle AOB\);
- \(ON\) — биссектриса \(\angle BOC\).
Тогда
\[ \angle MOB=\frac{\angle AOB}{2},\qquad \angle BON=\frac{\angle BOC}{2} \]
Угол между биссектрисами:
\[ \angle MON=\angle MOB+\angle BON \]
\[ \angle MON=\frac{\angle AOB+\angle BOC}{2} =\frac{180^\circ}{2}=90^\circ \]
Значит, биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.
M
/
/
A------O------C
\
\
N
Ответ: \(90^\circ\).
