Реши задание на изображении

Краткий ответ

А. Определения

• Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
• Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
• Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника.

Б. Свойства

1. Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника равна \((n-2)\cdot180^\circ\).
2. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\).
3. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна \(360^\circ\) (по одному при каждой вершине).
4. Количество диагоналей выпуклого \(n\)-угольника: \(\dfrac{n(n-3)}2\).

Задание 1

• \(ABCDE\) — выпуклый пятиугольник.
• \(KLMNP\) — невыпуклый пятиугольник, у него угол при вершине \(P\) больше \(180^\circ\).

В \(KLMNP\) можно провести, например, прямую через соседние вершины \(K\) и \(P\) — то есть прямую \(KP\). Тогда \(N\) окажется по одну сторону от неё, а \(L\) и \(M\) — по другую. Подойдёт и прямая \(PN\).

Готовая запись внизу:

Многоугольник \(ABCDE\) лежит по одну сторону от каждой из прямых \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EA\), проходящей через две соседние вершины, поэтому он является выпуклым.

Как понять принцип

Выпуклость проверяют так: берут прямую через каждые две соседние вершины — и весь многоугольник должен лежать только по одну сторону от неё. Если хотя бы для одной такой прямой часть многоугольника оказалась с одной стороны, а часть — с другой, многоугольник невыпуклый.

Сумма углов: любой \(n\)-угольник можно разбить на \(n-2\) треугольника, поэтому \((n-2)\cdot180^\circ\). Для четырёхугольника: \((4-2)\cdot180^\circ=360^\circ\).

Число диагоналей: из каждой вершины выходит \(n-3\) диагонали, всего \(n(n-3)\), но каждую диагональ мы посчитали дважды, поэтому делим на 2.

Проверка: для четырёхугольника \(n=4\): диагоналей \(\frac{4\cdot1}{2}=2\), сумма углов \(360^\circ\).