Реши задачи 13

Вариант 11 № 13 \[ (x+8)(x-5) > 0 \Rightarrow x < -8 \text{ или } x > 5 \] Ответ: 4 \((-\infty; -8) \cup (5; +\infty)\)

№ 15 \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 14 = 119 \] Ответ: 119

Вариант 13 № 13 \[ \begin{cases} -20+5x > 0 \\ 10-2x < -8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x > 20 \\ -2x < -18 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4 \\ x > 9 \end{cases} \Rightarrow x > 9 \] Ответ: 2 (на рисунке 2 заштрихован интервал от 9 вправо)

№ 15 Так как \(BM\) — медиана, она делит сторону \(AC\) пополам: \[ AM = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] Ответ: 12

№ 15 (вариант 15)

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла \(C\) к гипотенузе \(AB\), равна половине гипотенузы:

\[ CM=\frac{AB}{2}=\frac{26}{2}=13 \]

Ответ: 13.

№ 15

\[ AC=AD+DC=6+19=25 \]

Треугольники \(ABC\) и \(BCD\) имеют общую высоту, поэтому их площади относятся как основания:

\[ \frac{S_{BCD}}{S_{ABC}}=\frac{DC}{AC}=\frac{19}{25} \]

\[ S_{BCD}=150\cdot \frac{19}{25}=6\cdot 19=114 \]

Ответ: 114.

Вариант 19

№ 13 \[ \begin{cases} -x\ge 3 \Rightarrow x\le -3,\\ x+4\le 0{,}8 \Rightarrow x\le -3{,}2. \end{cases} \] Общее решение: \(x\le -3{,}2\).

Ответ: 3

№ 15 По теореме синусов: \[ \frac{AC}{\sin 60^\circ}=\frac{BC}{\sin 45^\circ} \] \[ AC=12\sqrt6\cdot \frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=36 \]

Ответ: 36

№ 13 \[ 5-2(x-3)\le 3x-4 \] \[ 5-2x+6\le 3x-4 \] \[ 15\le 5x \quad\Rightarrow\quad x\ge 3 \] Ответ: 3) \([3;+\infty)\).

№ 15 \[ S=\frac12\cdot 6\cdot 14=42 \] Ответ: 42.

№ 13 \[ (x+2)(x-4)\le 0 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 4 \] Ответ: вариант 2.
(Если вписано «1», то это неверно: вариант 1 — это \(x\le -2\).)

№ 15 \[ BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29 \] Ответ: 29.

В задаче 15 дан прямоугольный треугольник, в котором \(AB\) и \(AC\) — катеты, а \(BC\) — гипотенуза.

Тогда по теореме Пифагора:

\[ BC^2=AB^2+AC^2 \]

Подставляем:

\[ BC^2=20^2+21^2=400+441=841 \]

\[ BC=\sqrt{841}=29 \]

Ответ: 29.

Коротко: складываем квадраты катетов и извлекаем корень — получаем гипотенузу.

№ 13 \[ \begin{cases} x+2{,}8\le 0 \Rightarrow x\le -2{,}8 \\ x+0{,}3\le -1{,}4 \Rightarrow x\le -1{,}7 \end{cases} \] Общее решение: \(x\le -2{,}8\), то есть \((-\infty;\,-2{,}8]\).

Ответ: 1 (в бланке уже верно).

№ 15 Сумма углов треугольника \(180^\circ\): \[ 180^\circ-26^\circ-95^\circ=59^\circ \]

Ответ: 59.

Разберём обе задачи по шагам.

№ 13

Дана система:

\[ \begin{cases} x+2{,}8\le 0\\ x+0{,}3\le -1{,}4 \end{cases} \]

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое:

\[ x+2{,}8\le 0 \]

Переносим \(2{,}8\) вправо:

\[ x\le -2{,}8 \]

Второе:

\[ x+0{,}3\le -1{,}4 \]

Переносим \(0{,}3\) вправо:

\[ x\le -1{,}4-0{,}3 \]

\[ x\le -1{,}7 \]

Теперь нужно, чтобы выполнялись оба условия одновременно:

\[ x\le -2{,}8 \quad \text{и} \quad x\le -1{,}7 \]

Из двух ограничений сильнее то, где число меньше:

\[ x\le -2{,}8 \]

То есть ответ:

\[ (-\infty;\,-2{,}8] \]

На координатной прямой это луч от \(-2{,}8\) влево, точка \(-2{,}8\) закрашена. Поэтому на рисунке выбираем вариант, где заштриховано левее \(-2{,}8\).

Ответ: 1.

№ 15

В треугольнике сумма всех углов равна \(180^\circ\).

Известны два угла:

\[ 26^\circ \quad \text{и} \quad 95^\circ \]

Найдём третий угол:

\[ 180^\circ-26^\circ-95^\circ=59^\circ \]

Значит, неизвестный угол равен:

\[ 59^\circ \]

Ответ: 59.

Коротко:

• в № 13 решаем два неравенства и берём общую часть решений;
• в № 15 из \(180^\circ\) вычитаем два известных угла.

№ 15

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\):

\[ \sin B=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{AC}{AB} \]

\[ \sin B=\frac{9}{30}=0{,}3 \]

Ответ: \(0{,}3\)

№ 13 \[ 13-4(2-x)\ge 6x-2 \] \[ 13-8+4x\ge 6x-2 \] \[ 5+4x\ge 6x-2 \] \[ 7\ge 2x \] \[ x\le 3{,}5 \] Ответ: 1) (заштрихован луч левее \(3{,}5\)).
В бланке записано «2» — это ошибка, при \(x\ge 3{,}5\) неравенство не выполняется.

№ 15 Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), отрезок \(MN\) является средней линией треугольника, параллельной стороне \(AC\). Тогда: \[ MN=\frac{AC}{2}=\frac{52}{2}=26 \] Ответ: 26.

№ 13 \[ 6x-3(4x+1)>6 \] \[ 6x-12x-3>6 \] \[ -6x>9 \] \[ x<-1{,}5 \] Ответ: 2) \((-\infty;\,-1{,}5)\).

№ 15 Биссектриса равностороннего треугольника является и высотой: \[ l=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{14\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=21 \] Ответ: 21.

№ 13 \[ \begin{cases} x<-1,\\ -4-x<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-1,\\ x>-4 \end{cases} \Rightarrow -4<x<-1 \] Ответ: 4 (интервал между \(-4\) и \(-1\)).

№ 15 \[ \triangle BMN\sim \triangle BAC,\quad \frac{BM}{AB}=\frac{MN}{AC} \] \[ BM=42\cdot\frac{24}{45}=22{,}4 \] \[ AM=AB-BM=42-22{,}4=19{,}6 \] Ответ: 19,6.

В задаче \(MN\parallel AC\), поэтому треугольник \(BMN\) подобен треугольнику \(BAC\).

Почему:

• угол \(B\) — общий;
• при параллельных прямых \(MN\parallel AC\) соответственные углы равны: \[ \angle BMN=\angle BAC,\qquad \angle BNM=\angle BCA. \]

Значит, соответственные стороны пропорциональны:

\[ \frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC} \]

Нам нужно найти \(BM\):

\[ \frac{BM}{42}=\frac{24}{45} \]

\[ BM=42\cdot \frac{24}{45}=42\cdot \frac{8}{15}=22{,}4 \]

Тогда

\[ AM=AB-BM=42-22{,}4=19{,}6 \]

Ответ: \(19{,}6\).