Реши задание на изображении

Ответ (№1).

а) Обозначим
\[ P=CM\cap BD,\qquad Q=A_1M\cap AD_1. \] Тогда:

• \(P\) — искомая точка пересечения \(CM\) с плоскостью \((BB_1D_1)\);
• \(Q\) — искомая точка пересечения \(A_1M\) с плоскостью \((D_1AC)\).

б) Пусть
\[ O=AC\cap BD \] — точка пересечения диагоналей нижней грани. Тогда линия пересечения плоскостей: \[ (C_1BD)\cap(A_1AC)=C_1O. \] Внутри параллелепипеда отрезок \(C_1O\) проводят штриховой линией.

Почему так

1. Плоскость \((BB_1D_1)\) пересекает нижнюю грань \(ABCD\) по прямой \(BD\).
   Прямая \(CM\) целиком лежит в нижней грани, поэтому её точка пересечения с плоскостью — это \[ P=CM\cap BD. \]

2. Плоскость \((D_1AC)\) пересекает переднюю грань \(AA_1D_1D\) по прямой \(AD_1\).
   Прямая \(A_1M\) лежит в этой же передней грани, значит \[ Q=A_1M\cap AD_1. \]

3. Точка \(C_1\) принадлежит обеим плоскостям: \((C_1BD)\) — очевидно, а \((A_1AC)\) — потому что \(CC_1\parallel AA_1\).
   Точка \(O=AC\cap BD\) тоже принадлежит обеим плоскостям: \(O\in AC\), значит \(O\in(A_1AC)\); и \(O\in BD\), значит \(O\in(C_1BD)\).
   Следовательно, общая прямая этих плоскостей — \(C_1O\).

Если \(M\) — середина \(AD\), то для проверки:
\[ BP:PD=2:1,\qquad AQ:QD_1=1:2. \]