Решить системы
Краткие ответы
| № | Решение |
|---|---|
| 2 | \((x;y)=(3;-1)\) |
| 3 | \((x;y)=(4;2)\) |
| 4 | \((x;y)=(6;5)\) |
| 5 | \((a;b)=\left(\frac32;\frac12\right)\) |
| 6 | \((m;n)=(1;-1)\) |
Как решать: метод алгебраического сложения
Главная идея: умножить уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, затем сложить уравнения — эта переменная исчезнет.
Подробно на примере №2
\[ \begin{cases} 6x-5y=23\\ 2x-7y=13 \end{cases} \]
Умножим второе уравнение на \(3\):
\[ 6x-21y=39 \]
Вычтем это из первого уравнения:
\[ (6x-5y)-(6x-21y)=23-39 \]
\[ 16y=-16 \]
\[ y=-1 \]
Подставим \(y=-1\) во второе уравнение:
\[ 2x-7(-1)=13 \]
\[ 2x+7=13 \]
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Проверка:
\[ 6\cdot3-5(-1)=18+5=23 \]
\[ 2\cdot3-7(-1)=6+7=13 \]
Оба равенства верны. Ответ: \((3;-1)\).
Остальные системы — тот же принцип
№3
\[ \begin{cases} 5x-2y=16\\ 8x+3y=38 \end{cases} \]
Умножим первое на \(3\), второе на \(2\):
\[ 15x-6y=48 \]
\[ 16x+6y=76 \]
Сложим:
\[ 31x=124 \quad\Rightarrow\quad x=4 \]
Подставим:
\[ 5\cdot4-2y=16 \]
\[ 20-2y=16 \]
\[ y=2 \]
Ответ: \((4;2)\).
№4
\[ \begin{cases} 5x-4y=10\\ 2x-3y=-3 \end{cases} \]
Умножим первое на \(2\), второе на \(5\):
\[ 10x-8y=20 \]
\[ 10x-15y=-15 \]
Вычтем второе из первого:
\[ 7y=35 \]
\[ y=5 \]
Подставим:
\[ 2x-3\cdot5=-3 \]
\[ 2x-15=-3 \]
\[ 2x=12 \]
\[ x=6 \]
Ответ: \((6;5)\).
№5
\[ \begin{cases} 4a+6b=9\\ 3a-5b=2 \end{cases} \]
Умножим первое на \(3\), второе на \(4\):
\[ 12a+18b=27 \]
\[ 12a-20b=8 \]
Вычтем второе из первого:
\[ 38b=19 \]
\[ b=\frac12 \]
Подставим:
\[ 4a+6\cdot\frac12=9 \]
\[ 4a+3=9 \]
\[ 4a=6 \]
\[ a=\frac32 \]
Ответ: \(\left(\frac32;\frac12\right)\).
№6
\[ \begin{cases} 9m-13n=22\\ 2m+3n=-1 \end{cases} \]
Умножим первое на \(3\), второе на \(13\):
\[ 27m-39n=66 \]
\[ 26m+39n=-13 \]
Сложим:
\[ 53m=53 \]
\[ m=1 \]
Подставим:
\[ 2\cdot1+3n=-1 \]
\[ 3n=-3 \]
\[ n=-1 \]
Ответ: \((1;-1)\).
Все решения можно проверить подстановкой в оба уравнения исходной системы — она даёт верные равенства.
