Реши
Краткие ответы
Монотонно возрастают функции:
\[ y=-3+2x,\quad y=2{,}6+0{,}1x,\quad y=-0{,}032+0{,}001x,\quad y=-7+5x,\quad y=0{,}2x. \]Угол равен
\[ 150^\circ. \]Наибольшее целое \(x\):
\[ -1. \]
1. Монотонность линейной функции
Линейная функция имеет вид
\[
y=kx+b.
\]
Её график — прямая. Всё решает коэффициент \(k\) при \(x\):
- если \(k>0\), функция возрастает;
- если \(k<0\), функция убывает;
- если \(k=0\), функция постоянна, она не является возрастающей.
Проверим варианты:
| Функция | \(k\) | Вывод |
|---|---|---|
| \(y=6{,}2-x\) | \(-1\) | убывает |
| \(y=-3+2x\) | \(2\) | возрастает |
| \(y=2{,}6+0{,}1x\) | \(0{,}1\) | возрастает |
| \(y=3-2x\) | \(-2\) | убывает |
| \(y=-0{,}032+0{,}001x\) | \(0{,}001\) | возрастает |
| \(y=-3x+2\) | \(-3\) | убывает |
| \(y=-7+5x\) | \(5\) | возрастает |
| \(y=-3\) | \(0\) | постоянна, не возрастает |
| \(y=0{,}2x\) | \(0{,}2\) | возрастает |
Ответ: \(y=-3+2x;\ y=2{,}6+0{,}1x;\ y=-0{,}032+0{,}001x;\ y=-7+5x;\ y=0{,}2x\).
2. Угол наклона прямой к оси абсцисс
У прямой \(y=kx+b\) угловой коэффициент
\[
k=\tan \alpha,
\]
где \(\alpha\) — угол наклона к положительному направлению оси \(Ox\).
В данной функции
\[
y=\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}x,
\]
поэтому
\[
k=-\frac{\sqrt3}{3}.
\]
Тогда \[ \tan \alpha=-\frac{\sqrt3}{3}. \] Угол с таким тангенсом в пределах \(0^\circ\le \alpha<180^\circ\): \[ \alpha=150^\circ. \]
Проверка: \[ \tan 150^\circ=\tan(180^\circ-30^\circ)=-\tan30^\circ=-\frac{\sqrt3}{3}. \]
Ответ: \(150^\circ\).
Если искать именно меньший острый угол между прямой и осью, он был бы \(30^\circ\), но в теме «угол наклона к положительному направлению оси» берут угол \(150^\circ\).
3. Положительные значения функции
Нужно решить неравенство \[ -1{,}2-2{,}5x>0. \]
Перенесём: \[ -2{,}5x>1{,}2. \]
Делим на отрицательное число \(-2{,}5\), поэтому знак неравенства меняется: \[ x<-\frac{1{,}2}{2{,}5}. \] \[ x<-0{,}48. \]
Значит, подходят все \(x\), меньшие \(-0{,}48\). Целые значения: \(\ldots,-3,-2,-1\). Наибольшее из них: \[ -1. \]
Проверка: \[ y(-1)=-1{,}2-2{,}5\cdot(-1)=1{,}3>0, \] а при \(x=0\): \[ y(0)=-1{,}2<0. \]
Ответ: \(-1\).
Обсуждение
4 сообщенияЗадание 4
Ответ: нужно выбрать функции с отрицательным коэффициентом при \(x^2\): \[ y=3x-5x^2+2,\quad y=3x-4x^2-3,\quad y=-3x^2-5x+2, \] \[ y=-3x-4x^2+3,\quad y=3+3x-4x^2. \]
Почему: график квадратичной функции \(y=ax^2+bx+c\) — парабола. Если \(a<0\), её ветви направлены вниз, и функция выпукла вверх на всей области определения. Если \(a>0\), ветви направлены вверх — такая функция выпукла вниз.
Задание 5
Найти наименьшее значение \[ y=-4x+2x^2-7 \] на отрезке \([-2;5]\).
Перепишем: \[ y=2x^2-4x-7. \] Это парабола, ветви вверх (\(a=2>0\)), поэтому наименьшее значение — в вершине. Координата вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1. \] Точка \(x=1\) входит в отрезок \([-2;5]\). Считаем: \[ y(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-7=2-4-7=-9. \] Проверим концы: \[ y(-2)=2\cdot 4-4\cdot(-2)-7=8+8-7=9, \] \[ y(5)=2\cdot 25-4\cdot 5-7=50-20-7=23. \] Наименьшее значение равно \(-9\).
Ответ: \(-9\).
Задание 6
Найти наибольшее значение \[ y=11+3x-1{,}5x^2 \] на отрезке \([-3;5]\).
Запишем в виде: \[ y=-1{,}5x^2+3x+11. \] Ветви параболы направлены вниз (\(a=-1{,}5<0\)), значит, наибольшее значение — в вершине. Координата вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-1{,}5)}=-\frac{3}{-3}=1. \] Точка \(x=1\) входит в отрезок \([-3;5]\). Тогда: \[ y(1)=11+3\cdot 1-1{,}5\cdot 1^2=11+3-1{,}5=12{,}5. \] Проверим концы: \[ y(-3)=11+3\cdot(-3)-1{,}5\cdot 9=11-9-13{,}5=-11{,}5, \] \[ y(5)=11+3\cdot 5-1{,}5\cdot 25=11+15-37{,}5=-11{,}5. \] Наибольшее значение равно \(12{,}5\).
Ответ: \(12{,}5\).
Это продолжение текущей темы — монотонность функций и наибольшие/наименьшие значения. Решаю задания с фото.
Задание 7
\[ y=4x-2x^2-3 \]
Производная:
\[ y'=4-4x=4(1-x) \]
Функция возрастает при \(x<1\), то есть на промежутке \((-\infty;1]\).
Среди вариантов целиком лежит в этом промежутке только:
\[ \boxed{(-9;0]} \]
Вариант \((-\infty;1{,}1]\) не подходит, потому что на \((1;1{,}1]\) функция уже убывает.
Задание 8
\[ y=\frac{2x+3}{x+1} \]
Найдём производную:
\[ y'=\frac{2(x+1)-(2x+3)}{(x+1)^2} =\frac{2x+2-2x-3}{(x+1)^2} =-\frac{1}{(x+1)^2} \]
При \(x\ne -1\) производная всегда отрицательна, значит функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;-1)\) и \((-1;+\infty)\).
Ответ: второй вариант —
\[
\boxed{\text{убывает на }(-\infty;-1)\text{ и на }(-1;+\infty)}
\]
Задание 9
\[ y=\frac{x-4}{x+2},\qquad x\in(-\infty;-3] \]
Производная:
\[ y'=\frac{(x+2)-(x-4)}{(x+2)^2} =\frac{6}{(x+2)^2}>0 \]
Значит, на луче \((-\infty;-3]\) функция возрастает. Поэтому наибольшее значение — в точке \(x=-3\):
\[ y(-3)=\frac{-3-4}{-3+2} =\frac{-7}{-1}=7 \]
Ответ:
\[
\boxed{7}
\]
Последнее задание на фото
\[ y=\frac{3x}{x-1} \]
Перепишем:
\[ y=3+\frac{3}{x-1} \]
При \(x>1\) функция убывает. Наименьшее значение \(4\) и наибольшее \(6\) достигаются на концах промежутка.
Проверим точки:
\[ y(2)=\frac{3\cdot 2}{2-1}=6 \]
\[ y(4)=\frac{3\cdot 4}{4-1}=\frac{12}{3}=4 \]
Значит, при \(x\in[2;4]\) наибольшее значение равно \(6\), наименьшее — \(4\).
Ответ:
\[
\boxed{[2;4]}
\]
Итоги:
- \((-9;0]\)
- Убывает на \((-\infty;-1)\) и на \((-1;+\infty)\)
- \(7\)
- \([2;4]\)
