Реши задание на изображении
Ответ: \(D = 3{,}5\)
Как решать
1. Найди среднее арифметическое набора
\[ \bar{x}=\frac{4+3+0+5}{4}=\frac{12}{4}=3 \]
2. Найди отклонения каждого числа от среднего
\[ 4-3=1,\quad 3-3=0,\quad 0-3=-3,\quad 5-3=2 \]
3. Возведи отклонения в квадрат — минус при этом исчезает:
\[ 1^2=1,\quad 0^2=0,\quad (-3)^2=9,\quad 2^2=4 \]
4. Найди среднее этих квадратов — это и есть дисперсия:
\[ D=\frac{1+0+9+4}{4}=\frac{14}{4}=3{,}5 \]
Проверка другим способом
\[ D=\overline{x^2}-(\bar{x})^2 \]
\[ \overline{x^2}=\frac{4^2+3^2+0^2+5^2}{4} =\frac{16+9+0+25}{4}=\frac{50}{4}=12{,}5 \]
\[ D=12{,}5-3^2=12{,}5-9=3{,}5 \]
Результат совпал.
Важно: в школьном курсе дисперсию обычно считают делением на \(n\) (число значений). Если бы делили на \(n-1=3\), получилось бы \(\frac{14}{3}\approx4{,}67\), но здесь ожидается \(3{,}5\).
Обсуждение
6 сообщенийОтвет: \(\sigma \approx 1{,}5\)
Это та же тема, что и в прошлой задаче, — только теперь из дисперсии нужно извлечь корень.
Решение
1. Среднее арифметическое
\[ \bar{x}=\frac{1+3+5+1+3}{5}=\frac{13}{5}=2{,}6 \]
2. Отклонения от среднего
\[ 1-2{,}6=-1{,}6;\quad 3-2{,}6=0{,}4;\quad 5-2{,}6=2{,}4; \] \[ 1-2{,}6=-1{,}6;\quad 3-2{,}6=0{,}4 \]
3. Квадраты отклонений
\[ 2{,}56;\quad 0{,}16;\quad 5{,}76;\quad 2{,}56;\quad 0{,}16 \]
4. Дисперсия (делим на \(n=5\)):
\[ D=\frac{2{,}56+0{,}16+5{,}76+2{,}56+0{,}16}{5} =\frac{11{,}2}{5}=2{,}24 \]
5. Стандартное отклонение
\[ \sigma=\sqrt{D}=\sqrt{2{,}24}\approx1{,}4967 \]
Округляем до десятых:
\[ \sigma \approx 1{,}5 \]
Проверка
\(1{,}5^2=2{,}25\) — почти ровно наша дисперсия \(2{,}24\), значит корень найден верно.
Что вписать в поле: 1,5 (или 1.5, если сайт требует точку).
Ответ:
- средняя длина кирпича: 20,11 см;
- среднее квадратичное отклонение: 0,53 см;
- процент кирпичей, отличающихся от средней длины больше чем на \(\sigma\): 20 %.
Решение
Всего измерений \(n=10\).
\[ \bar{x}=\frac{20{,}5+20{,}1+21{,}3+20{,}3+19{,}8+19{,}2+20{,}1+19{,}6+20{,}2+20{,}0}{10} \]
\[ \bar{x}=\frac{201{,}1}{10}=20{,}11\text{ см} \]
Сумма квадратов отклонений от средней:
\[ 2{,}809 \]
Среднее квадратичное отклонение:
\[ \sigma=\sqrt{\frac{2{,}809}{10}} =\sqrt{0{,}2809}=0{,}53\text{ см} \]
Теперь считаем, у скольких кирпичей длина отличается от \(20{,}11\) см больше чем на \(0{,}53\) см.
Подходят:
\[ 21{,}3-20{,}11=1{,}19>0{,}53 \]
\[ 20{,}11-19{,}2=0{,}91>0{,}53 \]
Таких кирпичей \(2\) из \(10\):
\[ \frac{2}{10}\cdot100\%=20\% \]
Заполнить:
\[ 20{,}11;\quad 0{,}53;\quad 20 \]
Если платформа считает выборочное стандартное отклонение с делением на \(n-1\), то во втором поле будет \(0{,}56\), но процент останется \(20\%\).
Ответ: «Не изменится» — выбирай последний вариант.
Почему
Пусть среднее исходного ряда равно \(\bar{x}\). После прибавления \(a\) к каждому числу среднее станет:
\[ \bar{x}+a \]
Но отклонение каждого числа от нового среднего не изменится:
\[ (x_i+a)-(\bar{x}+a)=x_i-\bar{x} \]
Значит, все отклонения, их квадраты и среднее квадратов останутся такими же:
\[ D(X+a)=D(X) \]
Вывод: прибавление одного и того же числа ко всем членам ряда сдвигает ряд, но не меняет его разброс, поэтому дисперсия не изменяется.
