Задача Задача №3754222
А
А
Составь примеры дефференциальных уровнений
Краткий ответ: дифференциальное уравнение связывает неизвестную функцию \(y(x)\), её производные и переменную \(x\). Порядок уравнения — это порядок старшей производной.
Как самому составить пример: возьми функцию с постоянной, продифференцируй её и исключи постоянную.
- \(y=Ce^{2x}\). Тогда \(y'=2Ce^{2x}=2y\), значит пример:
\[ y'=2y. \] - \(y=C_1e^x+C_2e^{-x}\). Тогда \(y''=y\), значит пример:
\[ y''-y=0. \]
Готовые примеры:
| № | Уравнение | Тип | Решение |
|---|---|---|---|
| 1 | \(y'=2x\) | 1-й порядок | \(y=x^2+C\) |
| 2 | \(y'=3y\) | 1-й порядок, линейное | \(y=Ce^{3x}\) |
| 3 | \(y'=\dfrac{x}{y}\) | 1-й порядок, с разделяющимися переменными | \(y^2=x^2+C\) |
| 4 | \(y'+2xy=x\) | линейное 1-го порядка | \(y=\dfrac12+Ce^{-x^2}\) |
| 5 | \(y''-5y'+6y=0\) | линейное 2-го порядка | \(y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}\) |
| 6 | \(y''+9y=0\) | линейное 2-го порядка | \(y=C_1\cos 3x+C_2\sin 3x\) |
| 7 | \(y'=y,\ y(0)=2\) | задача Коши | \(y=2e^x\) |
Проверка примера 4:
Если \(y=\frac12+Ce^{-x^2}\), то
\[
y'=-2Cxe^{-x^2}.
\]
Тогда
\[
y'+2xy=-2Cxe^{-x^2}+2x\left(\frac12+Ce^{-x^2}\right)=x,
\]
то есть уравнение выполнено.
