Реши задание на изображении
Кратко:
- \(y=|x|+x\): нули — все \(x\le 0\), то есть \((-\infty;0]\).
- \(y=\dfrac{x^2-9}{\sqrt{x-2}}\): ноль только \(x=3\).
- \(y=[x]\): нули — \(x\in[0;1)\).
- \(y=xD(x)\): нули — \(x=0\) и все иррациональные \(x\).
Как это получается
Ноль функции — это такое \(x\) из области определения, при котором \(y=0\). Поэтому решаем уравнение \(f(x)=0\), но обязательно учитываем ОДЗ.
1)
\[
|x|+x=0.
\]
Разбираем по знаку \(x\):
- если \(x\ge 0\), то \(|x|=x\), тогда \(2x=0\), то есть \(x=0\);
- если \(x<0\), то \(|x|=-x\), тогда \(-x+x=0\) — верно при любом таком \(x\).
Значит, подходят все \(x\le 0\): \[ (-\infty;0]. \]
2)
Сначала ОДЗ:
\[
x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2.
\]
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
\[
x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 3.
\]
Корень \(x=-3\) не входит в ОДЗ, а \(x=3\) подходит:
\[
\frac{3^2-9}{\sqrt{3-2}}=\frac{0}{1}=0.
\]
Ответ: \(x=3\).
3)
\([x]\) — целая часть числа \(x\). Она равна \(0\), когда
\[
0\le x<1.
\]
Например: \([0{,}5]=0\), но \([1]=1\).
4)
Здесь \(D(x)\) — стандартная функция Дирихле:
\[
D(x)=
\begin{cases}
1, & x\text{ рациональное},\\
0, & x\text{ иррациональное}.
\end{cases}
\]
Если \(x\) иррациональное, то \(D(x)=0\), поэтому
\[
y=x\cdot 0=0.
\]
Если \(x\) рациональное, то \(D(x)=1\), значит \(y=x\); это равно нулю только при \(x=0\).
Поэтому нули: \(x=0\) и все иррациональные числа.
Проверка: в п. 1 при \(x=-2\) получаем \(2-2=0\); в п. 2 при \(x=3\) числитель равен \(0\); в п. 3 при \(x=0{,}7\) целая часть равна \(0\); в п. 4 при иррациональном \(x=\sqrt2\) множитель \(D(x)=0\).
Обсуждение
1 сообщение5.9 1,2 и 5.13 1,3
