5.9 1,2 и 5.13 1,3

5.9. Промежутки знакопостоянства

1)
\[ y=\sqrt{x+2} \] Область определения: \(x\ge -2\). Корень принимает только неотрицательные значения.

• \(y=0\) при \(x=-2\);
• \(y>0\) при \(x>-2\);
• \(y<0\) нигде.

Ответ: функция положительна на \((-2;+\infty)\); отрицательных промежутков нет.

2)
\[ y=|x^2-4| \] Модуль всегда неотрицателен.

\[ x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2 \]

Поэтому:

• \(y=0\) при \(x=-2\) и \(x=2\);
• \(y>0\) при всех остальных \(x\).

Ответ:
\[ y>0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty). \] Отрицательных промежутков нет.

5.13. Доказать нечётность функции

Функция \(g(x)\) нечётная, если её область определения симметрична относительно нуля и выполняется \[ g(-x)=-g(x). \]

1)

\[ g(x)=\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x} \]

Область определения: \[ 2-x\ge0,\quad 2+x\ge0 \] то есть \[ -2\le x\le2. \] Она симметрична относительно нуля.

Проверяем: \[ g(-x)=\sqrt{2-(-x)}-\sqrt{2+(-x)} \] \[ =\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x} \] \[ =-\left(\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}\right) =-g(x). \]

Значит, функция нечётная.

3)

\[ g(x)=\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1} \]

Область определения: \[ x^4-1\ne0 \Rightarrow x\ne\pm1. \] Она симметрична относительно нуля.

Подставляем \(-x\): \[ g(-x)=\frac{|4(-x)-1|-|4(-x)+1|}{(-x)^4-1} \] \[ =\frac{|-4x-1|-|-4x+1|}{x^4-1} \] \[ =\frac{|4x+1|-|4x-1|}{x^4-1} \] \[ =-\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1} =-g(x). \]

Следовательно, функция нечётная.