Расс пиши кратко и с объяснениями

Кратко:
№249 — \(6\) и \(12\);
№250 — \(\frac{12}{18}\) (то есть \(\frac23\));
№251 — \(\frac36\) (то есть \(\frac12\)) и \(\frac58\);
№252 — \(50\) км/ч.

Общий приём: неизвестное берём за \(x\), вторую величину выражаем через \(x\), затем переводим условие в уравнение.

№249

Пусть меньшее число \(x\), большее — \(x+6\).

\[ \frac{x+6}{x}+\frac{4x}{x+6}=4 \]

Обозначим \(t=\frac{x+6}{x}\). Тогда \(t+\frac4t=4\), откуда \(t=2\).
Значит, \(x+6=2x\), поэтому \(x=6\), а второе число \(12\).

Проверка: \(\frac{12}{6}+\frac{4\cdot6}{12}=2+2=4\).

№250

Пусть числитель \(x\), знаменатель \(x+6\). Тогда:

\[ \frac{x}{x+6}-\frac{x-2}{x+8}=\frac16 \]

После упрощения:

\[ x^2-10x-24=0,\qquad x=12 \text{ или } x=-2 \]

Для обыкновенной дроби с натуральными числителем и знаменателем берём \(x=12\).
Дробь была \(\frac{12}{18}\), её значение \(\frac23\).

Проверка: \(\frac{12}{18}-\frac{10}{20}=\frac23-\frac12=\frac16\).

№251

Пусть исходная дробь \(\frac{x}{x+3}\). Новая дробь:

\[ \frac{3x-7}{2(x+3)-11}=\frac{3x-7}{2x-5} \]

Она обратна исходной:

\[ \frac{3x-7}{2x-5}=\frac{x+3}{x} \]

\[ x^2-8x+15=0,\qquad x=3 \text{ или } x=5 \]

Получаются дроби \(\frac36\) и \(\frac58\).

Проверка: для \(\frac36\) новая дробь \(\frac{3\cdot3-7}{2\cdot3-5}=\frac21\), это обратная; для \(\frac58\) новая дробь \(\frac{8}{5}\), тоже обратная.

№252

Пусть скорость грузового автомобиля \(v\) км/ч, тогда легкового — \(v+10\) км/ч.

\[ \frac{150}{v}-\frac{150}{v+10}=\frac12 \]

\[ v^2+10v-3000=0 \]

\[ v=50 \text{ или } v=-60 \]

Скорость положительна, поэтому \(v=50\) км/ч.

Проверка: грузовой едет \(150:50=3\) ч, легковой — \(150:60=2{,}5\) ч; разница \(0{,}5\) ч.