Реши задание на изображении
Краткие ответы
- а) \(4\); б) \(9\)
- \(a^3\)
- \(17{,}5=\dfrac{35}{2}\)
- \(x=-\dfrac38\)
- \(\dfrac{14}{45}\)
- \(\dfrac{1}{1+\sqrt[4]{a}}\), где \(a\ge 0,\ a\ne1\)
- \(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\)
Как решать
- Вычислить.
а) \[ 16=2^4,\quad \sqrt[5]{16}=2^{4/5},\quad 8^0=1,\quad 4^4=(2^2)^4=2^8. \] Тогда \[ \frac{2^9\cdot 2^{4/5}}{2^8\cdot 2^{-1/5}} =2^{9+\frac45-8+\frac15}=2^2=4. \]
б) \[ \sqrt{81}=9,\quad 3\cdot9=27, \] \[ \sqrt[3]{27}=3,\quad 3^2=9. \]
При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ \left(a^{1+\sqrt3}\right)^{\sqrt3}\cdot a^{-\sqrt3} =a^{(1+\sqrt3)\sqrt3-\sqrt3} =a^{3+\sqrt3-\sqrt3}=a^3. \]
Используем то же основание: \[ 0{,}7^{2x+1}=0{,}7^{2x}\cdot0{,}7=(0{,}7^x)^2\cdot0{,}7. \] Так как \(0{,}7^x=5\), \[ 0{,}7^{2x+1}=5^2\cdot0{,}7=25\cdot0{,}7=17{,}5. \]
Приводим обе части к основанию \(3\): \[ \sqrt[4]{27}=27^{1/4}=3^{3/4}, \] \[ \left(\frac19\right)^x=(3^{-2})^x=3^{-2x}. \] Значит, \[ 3^{3/4}=3^{-2x}, \] \[ -2x=\frac34,\qquad x=-\frac38. \]
Пусть \[ x=0{,}3(1)=0{,}3111\ldots \] Тогда \[ 10x=3{,}111\ldots \] Вычитаем: \[ 10x-x=3{,}111\ldots-0{,}3111\ldots, \] \[ 9x=2{,}8, \] \[ x=\frac{2{,}8}{9}=\frac{28}{90}=\frac{14}{45}. \]
Обозначим \[ t=\sqrt[4]{a}. \] Тогда \[ \sqrt a=t^2. \] Получаем: \[ \frac{1-\sqrt[4]{a}}{1-\sqrt a} =\frac{1-t}{1-t^2} =\frac{1-t}{(1-t)(1+t)} =\frac{1}{1+t}. \] Возвращаемся обратно: \[ \frac{1}{1+\sqrt[4]{a}}. \]
Положим \[ u=\sqrt[4]{x},\qquad v=\sqrt[4]{y}. \] Тогда \(x=u^4,\ y=v^4\). Первая дробь: \[ \frac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}} =\frac{u^4-v^4}{u^3+u^2v} =\frac{(u-v)(u+v)(u^2+v^2)}{u^2(u+v)} =\frac{(u-v)(u^2+v^2)}{u^2}. \] Вторая дробь: \[ \frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}} =\frac{u^2-v^2}{u+v}=u-v. \] Разность в скобках: \[ \frac{(u-v)(u^2+v^2)}{u^2}-(u-v) =(u-v)\frac{v^2}{u^2}. \] Кроме того, \[ \left(\frac yx\right)^{-1/2} =\left(\frac{v^4}{u^4}\right)^{-1/2} =\frac{u^2}{v^2}. \] Поэтому всё выражение равно \[ (u-v)\frac{v^2}{u^2}\cdot\frac{u^2}{v^2} =u-v =\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}. \]
